Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
152
через точку 3. Точно так же, если бы функция полезности (проходила через точку 49 то была бы нарушена монотонность, ибо* х4>х2 и и(х4)>и(х2).
Предположим теперь, что мы попросили лицо, принимающее решение, указать его детерминированный эквивалент для лотереи,.
G)
0{///////XsYW я
fflft 4>sftff/теш,
Рис. 4.6. Ограничения, налагаемые на функцию полезности свойствами монотонности и несклонности к риску
дающей выигрыши х\ или х2у каждый с вероятностью 1/2. Обозначая детерминированный эквивалент через х$9 мы получаем для функции полезности еще одну дополнительную точку [*5, U (Xs)] у. где и(хъ) = [и(х\) +и(х2)]12. Нанеся эту точку на график на рис. 4.6, а, мы при помощи тех же самых соображений, что и раньше, ограничиваем возможные значения функции полезности незаштри-хованной областью на рис. 4.6, б. Из этого рисунка видно, что,, эмпирически оценив полезность только одного возможного исхода, можно очень сильно ограничить очертание функции полезности, используя качественные
свойства монотонности и не- а fa^ff/ffr+x/ftp
склонность к риску. #1 г 9 к /.
Рассуждения подобного рода могут быть использованы и для ограничений на возможные значения детерминированного эквивалента лотереи. Пожалуй, это луч- ' ше всего пояснить на примере.
Пример 4.7. Пусть JCi = O, а:2=100 и хь = 40 (рис. 4.6). Предположим далее, что мы произвольно приняли U(O) =
= 0 W(IOO) = I и и(40)=0 5 Рис* 4-7- Использование свойств монотон-
Тогда как что пи л но ич пиг' ности и нескл(>нности к Риску при установ-іогда, как это видно из рис. лении гра,нщ для детерминированного эк-
7UO *
4.7, элементарные геометри-
вивалента
153
веские соображения показывают, что любая монотонная функция ¦полезности в случае несклонности к риску должна лежать между ui(x) =х/80 и M2(X) = 0,167+^/120.
Допустим, что мы хотим установить границы для детерминированного эквивалента лотереи, описываемой плотностью распределения вероятности f(x):
1 25 < X < 75,
50
0 в противном случае.
В общем случае для того, чтобы получить верхнюю границу детерминированного эквивалента лотереи, мы должны определить верхнюю границу ее ожидаемой полезности и найти наибольшее значение х9 при котором достигается такая полезность. Теорема 4.5 говорит о том, что в случае несклонности к риску детерминированный эквивалент не может быть больше 50. Однако для рассматриваемой лотереи, как показано рис. 4.7, функция полезности может 'быть линейной на интервале от #=25 до #=75. Поскольку ,плотность распределения вероятности допускает получение выигрышей только в этом интервале, детерминированный эквивалент может быть таким же большим, как и ожидаемый выигрыш, — равняться 50. Следовательно, наименьшая верхняя граница для детерминированного эквивалента (обозначим ее через Хтах) равна 50.
При отыскании нижней границы детерминированного эквивалента мы вначале должны получить нижнюю границу ожидаемой полезности этой лотереи, а затем отыскать наименьшее значение х, которое может иметь такую полезность. Ясно, что несмотря на то, какой в действительности является функция полезности ut можно записать
_ 75 40 75
E [и (х)] = ^u(x)f (х) dx > Jw1 (х) f (х) dx + Jh2 (х) f (х) dx,
25 25 40
так что ?[и(*)]>0,122+0,452=0,574.
Из рис. 4.7 легко увидеть, что наименьшее возможное значение X (обозначим его через хтт), обеспечивающее полезность 0,574, получается в том случае, когда и(х) = щ (х). Таким образом, значение Xmin можно найти, решив уравнение
Щ [Xmin) =*min/80= 0,574.
Это дает нам #mln=45,92, где хтт — нижняя граница «истинного» детерминированного эквивалента нашей лотереи. Это — не обязательно наибольшая нижняя граница, так как jtmin был вычислен при и=щ в интервале #^40, тогда как при вычислении минимальной полезности для заданной плотности вероятности использовалась и=и2. По-видимому, для детерминированного эквивалента можно найти более узкие границы.
154
Однако наша цель при рассмотрении этого примера — не установить наименьший интервал для детерминированного эквивалента, а проиллюстрировать, 'как на основе ограниченной информации о предпочтениях лица, принимающего решение, можно сделать определенные и весьма практические выводы, а также лучше освоить некоторые понятия, которыми мы будем регулярно пользоваться.
4.4.3. Случай склонности к риску*). Пусть теперь принимающий решение, наоборот, склонен к риску.
Теорема 4.7. При возрастающих функциях полезности принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда его детерминированный эквивалент для любой невырожденной лотереи больше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.
Доказательство опускается, так как оно подобно соответствующему доказательству для случая несклонности к риску.
Напомним, что надбавка за риск для возрастающих функций полезности был Ц Я2, S определена как разность между ожидаемым выигры- ' шем и детерминированным эквивалентом. Исходя непосредственно ИЗ ЭТОГО опреде- Рис 48 возрастающая функция полезно-ЛЄНИЯ, МЫ получаем теоре- сти, иллюстрирующая склонность к риску му 4.8.
