Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Локальная несклонность к риску в точке х к риску определяется с помощью функции несклонности
г(х) =—и"(х)/и'(х). (4.13)
С вычислительной точки зрения полезно заметить, что
г{X)= — {d/dx) [logи'(X)]. (4.14)
157
Функция несклонности к риску*) несет в себе наиболее существенную информацию, относящуюся к и, опуская несущественные детали.
Теорема 4.9. Две функции полезности стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда они приводят к одной и той же функции несклонности к риску.
Доказательство. Пусть щ (х) = а+Ьи2(х), 6>0. Ясно, что. и\ (х) =Ьи'2 {х) и и"\ (х) = bu"2 (х), так что
Гх (X)=--— =--;-= Г2 (X).
U1 (X) bu2 (X)
Для доказательства обратного утверждения заметим, что согласно (4.14) —r(x) = (d/dx) [logu'(x)]. Интегрирование обеих частей этого равенства дает
j —т (х) dx=\og и' (х) + с,
где с — постоянная интегрирования. Используя операцию возведения в степень числа е, получаем
— (V (X) dx
И, еще раз интегрируя, окончательно получаем
—JV (X) dx
J е dx= и'(x)dx = ecu(x) + d.
Поскольку ес>0 и d — константы, г(х) позволяет восстановить и(х) с точностью до положительного линейного преобразования.
4.5.1. Интерпретация функции несклонности к риску. Попытаемся дать «физическую» интерпретацию функции несклонности к риску. Обозначим через X0 наше первоначальное состояние, регистрируемое по шкале рассматриваемого критерия X9 и введем дополнительно к Xo лотерею X с ожидаемым выигрышем Е(х), равным нулю, и дающую выигрыши только из малого интервала шкалы X. Пусть Jt(#0, х)—надбавки за риск лица, принимающего решение **>, к лотерее Xo+х.
По определению детерминированного эквивалента
и(хо—я) =Е[и(х0+х)]. (4.15)
Используя формулу Тейлора для разложения обеих частей равенства (4.15), получаем, что
U(X0-л) =и(хо)—пи'(хо) + (п2/2\)и"(х0)—... (4.16>
*) 'Всякий раз, когда речь идет о /-(•), мы предполагаем, что и(-) дважды, непрерывно дифференцируема.
*а> Во избежание путаницы в обозначениях дадим некоторые пояснения». Мы обозначаем через п(ху х) надбавку за риск в лотерее (rt+x). Если х— ло-~ терея специального вида <—Л, Л>, то мы используем обозначение п(х, h) вместо я (я, <—Л, Л>) для надбавки за риск к лотерее х+ <—hr k> или,, что эквивалентно, к лотерее <х—Л, x+h>.
153
и
?[u(xq+ x)]=E[u(x0) + хи' (x0) + (l/2\)x2u"(x0) + (W)Pu'" (х0) + + ...]=и(х0) + (U2\)E[x2]u"(x0) + (l/3!) E[SP]u"'(x0) + ...
(4.17)
Приравнивая (4.16) и (4.17) и отбрасывая члены высших порядков малости, получаем
—пи'(x0) ~1/2Е[х2]и"(х0). (4.18)
"Учитывая, что Е[х2] — это дисперсия а2х лотереи x9 так как Е[х] = = 0, и перегруппировав члены в (4.18), получим
jt(x09 х)«1/2о2хг(х0)9 (4.19)
где г(х0) определяется формулой (4.13).
Таким образом, при установленном начальном уровне x0 надбавка за риск к лотерее с небольшим интервалом возможных выигрышей и Е[х]=0 в первом приближении в г(хо) раз больше половины дисперсии х. Иными словами, для таких лотерей значение функции несклонности к риску г(хо) равно удвоенной надбавке за риск, приходящейся на единицу дисперсии.
Для того чтобы лучше «прочувствовать» смысл этой функции разберем два примера.
Пример 4.9. Для того чтобы найти функцию несклонности к риску при и(х)=а—Ье-сх9 &>0, находим u'(x)=cb е~сх ии"(х) = =—C2Oe-0*. Следовательно, согласно (4.13)
г(х)=-^ = --сЧ*-СХ =с. и'(*) сье-сх
Для этой же функции полезности в табл. 4.1 мы привели ожидаемые выигрыши x и детерминированные эквиваленты х для трех лотерей вида <х\9 х2> и трех разных значений с. Используя эти данные, легко подсчитать надбавку за риск л для всех этих лотерей. Эти числа даны в табл. 4.4. Заметим, что для любого данно-то значения с надбавка за риск к лотереям вида <.х9 л;+10> одна и та же. Заметим еще, что по мере уменьшения с надбавка за риск к одной и той же лотерее становится меньше и что все надбавки за риск положительны.
Замечания, подобные сделанным, могут привести к постановке вопроса о том, какого рода общие утверждения о предпочтениях принимающего решение, можно сделать, зная его функцию несклонности к риску.
Таблица 4.4. Функция несклонности к риску, и(х) = а—Ье~ех
г (x)
с x x
1,0 0 10 5 0,69 4,31 1,0
1,0 10 20 15 10,69 4,31 1,0
1,0 20 30 25 20,69 4,31 1,0
оУ 0 10 5 2,85 2,15 0,2
0,2 10 20 15 12,85 2,15 0,2
0,2 20 30 25 22,85 2,15 0,2
0,1 0 10 5 3,8 1,2 0,1
0,1 10 20 15 13,8 1,2 0,1
0,1 20 30 25 23,8 1,2 0,1
159
Теорема 4.10. Если г положительна при всех х, то и вогнута и принимающий решение не склонен к риску.
Доказательство. Предположим, что г положительна. Тогда, поскольку и' всегда положительна (и — возрастающая функция), и"(х) должна быть отрицательной. Отсюда следует, что и вогнута, и поэтому принимающий решение не склонен к риску.
Как и следовало ожидать, справедливо и обратное утверждение.
Теорема 4.11. Если г отрицательна при всех х9 то и выпукла и принимающий решение склонен к риску.
Пусть щ и U2 — две функции полезности, a Tx и г2 — соответствующие функции несклонности к риску. Тогда из (4.19) мы можем увидеть, что если Гі(хо)>г2(х0) в данной точке х0, то надбавка за риск яі(#о, х) к лотерее х с малым интервалом выигрышей и Е(х)=0 больше, чем соответствующая надбавка за риск Я2(#о, х). Однако более важный результат, справедливый для любой лотереи, состоит в следующем.
