Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4.21. Для убывающих функций полезности принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск в любой невырожденной лотерее для него положительна.
Обратимся к примеру.
Пример 4.18. Рассмотрим убывающую функцию полезности вида и(х) = — е°'1ж, отражающую несклонность к риску (см. рис. 4.16). Найдем ожидаемый выигрыш, детерминированный эквивалент и надбавку за риск для лотереи с возможными выигрышами jc=2, х=3 или х=7у причем каждый выигрыш имеет вероятность 1/3. Ожидаемый выигрыш равен
*--^-(2+3+7)-4,
а ожидаемая полезность
?[и (je)]=— (—е0-1-2—ем-3—е0-1-7) —1,528.
Следовательно, детерминированный эквивалент х здесь таков, что
_eo,ix=_l,528.
175
5=4
Решая это уравнение, находим ?=4,24. Тогда надбавка за риск St—x равна 0,24.
Теперь рассмотрим склонность к риску.
Теорема 4.22. Для убываю* щих функций полезности следующие утверждения эквивалентны: . • -
1. Принимающий решение «vy-f,&3 склонен к риску.
2. Для любой невырожденной лотереи детерминированный эквивалент меньше, чем ожидаемый выигрыш.
3.. Надбавка за риск для любой невырожденной лотереи отри- ^
цательна. Рис- 4.16. Убывающая функция полезно-
Для пояснения этого резуль- сти> иллюстрирующая несклонность к риску тата рассмотрим
Пример 4.19. Пусть и(х)=е~°>2х и нас интересует детерминированный эквивалент и надбавка за риск к лотерее <0, 10>. Ожидаемая полезность этой лотереи равна
Дм(х)]=72(е-°'20+е-°'2'10) =0,568. Определяя детерминированный эквивалент из уравнения
е-о,2х=0,568,
находим X=2,83. Поскольку ожидаемый выигрыш х=5, надбавка за риск Я—х— ——2,17 (см. рис. 4.17).
4.8.2. Мера несклонности к риску. Подобно тому, как это было сделано для возрастающих функций полезности, мы можем показать, что подходящей мерой несклонности к риску для убывающих функций полезности является величина
B^.jL0og^(x))1.
U'(X)
dx
(4.27)
Заметим, что q(x) определяется почти так же, как в § 4.5; разница лишь в знаке минус. Причина этого, как мы увидим на примерах, связана со следующим результатом. »
Теорема 4.23. Если q положительна при всех х, то и вогнута и принимающий решение не склонен к риску.
Доказательство. Предположим, что q(x) положительна. Тогда, поскольку и'(х) отрицательна для убывающих функций полезности, и"(х) должна быть отрицательна, а это
^ - ЛОНО IT Q ОТ
7
0,508--
0,755
Рис. 4.17. Убывающая функция полезности, иллюстрирующая склонность к риску
означает, что и(х) вогнута и, следовательно, принимающий решение не склонен к риску.
Таким образом, введенное понятие согласуется со случаем возрастающих функций полезности. Положительность функции несклонности к риску означает, что принимающий решение не склонен к риску.
Теорема 4.24. Две функции полезности стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда функция несклонности к риску для них одна и та же.
176
Этот результат говорит о том, что произвольность в единицах измерения и начале отсчета функций полезности несущественна с точки зрения функции несклонности к риску, т. е. не влияет на отношение к риску.
Следующая теорема связывает функцию несклонности к риску (представляющую отношение принимающего решение к риску для лотерей с небольшой разницей возможных выигрышей и нулевым ожидаемым выигрышем) с его отношением к риску для любой лотереи. Но вначале определим щ(х, х) как надбавку за риск к лотерее х+х при данной функции полезности, приводящей к функции несклонности к риску ф.
Теорема 4.25. Если qi(x)>q2(x) для всех х, то П\ (х, х) больше, чем Jt2 х).
Проиллюстрируем эти результаты следующими примерами.
Пример 4.20. В примере 4.4, используя и(х)=—х2, мы нашли, что детерминированные эквиваленты для <0, 10> и <10, 20> равны соответственно 7,07 и 15,8. Тогда надбавка за риск равна 2,07 для <0, 10> и 0,8 для <10, 20>. Используя (4-27), мы получаем, что функцией несклонности к риску при и(х) =—л*2 является q(x) = l/x. Она положительна при я>0, и поэтому мы ожидаем, что надбавка за риск к лотереям с выигрышами из этого интервала будет положительна. Наши результаты соответствуют этому примеру.
Заметим, что ц — убывающая функция. Следовательно, несклонность к риску в интервале 0—10 больше, чем в интервале 1—20. Поэтому можно ожидать, что надбавка за риск к отдельной лотерее х в интервале 0—10 будет больше, чем к эквивалентной лотерее х-Ы0 в интервале 10—20. Надбавки за риск к <0, 10> и <10, 20> подтверждают этот вывод.
Пример 4.21. Какова функция несклонности к риску при и(х)=— е0,1ж? Непосредственно исходя из определения (4.27), получаем
и'(х) -(0,I)Se0-1*
В примере 4.18 мы использовали эту функцию полезности и нашли надбавку за риск к лотерее, дающей выигрыши х=2, X=S и х=7 с вероятностями, равными 1/3. Поскольку q положительна, мы ожидаем, что надбавка за риск будет положительна.
Пример 4.22. Предположим, что и(*)=е-0'2ж и нас интересует функция несклонности к риску. По определению,
и" (х) (0,2)2е-°'2*
Заметим, что она отрицательна. В примере 4.19 мы использовали ту же самую функцию полезности и нашли, что надбавка за риск к <0, 10> равна —2,17 и также отрицательна.
