Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кини Р.Л. -> "Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения" -> 80

Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.

Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. Под редакцией Шахнова И.Ф. — M.: Радио и связь, 1981. — 560 c.
Скачать (прямая ссылка): prinyatie risheny1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 261 >> Следующая

Этот пример указывает на один важный результат.
Теорема 4.26. Если q(x) отрицательна при всех х, то и(х) выпукла и принимающий решение склонен к риску.
В § 4.3 мы обсуждали возможности такого преобразования критериев, чтобы функция полезности для нового критерия была возрастающей, если для исходного критерия она была убывающей. Разберем влияние такого преобразования на функцию несклонности к риску. Предположим, что У— такой критерий и и(у) =—єсу, где с>0. Заметим, что и(у)—убывающая функция, а функция несклонности к риску q(y)=c. Определим х=у*—у для всех у, где у* — некоторое фиксированное значение У. Обозначим через щ(х) полезность х и определим ее так:
щ (х) = и (у*—х) = — ес(у*-*>=—(єсу*) е-сх. Так как eCJf* — положительная константа, то
Ui (х) ~ е~"сж.
Естественно, эта функция является возрастающей, а функция несклонности к риску равна г(х)=с. Вывод состоит в том, что проведенное преобразование убы-
177
вающей функции полезности в возрастающую не повлияло на отношение лица, принимающего решение, к риску.
Попытаемся обобщить этот вывод.
Теорема 4.27. Если для замены убывающей функции полезности и(у) на возрастающую функцию полезности w(x) применено преобразование х=у*—у, то функции несклонности к риску q(y) и г(х), связанные соответственно с и(у) и w(x), должны быть такими, чтобы r(x) = q(y*—х), или, что эквивалентно, q(y)=r(y*—y).
Иными словами, функция несклонности к риску, связанная с определенными выигрышами X или г/, не меняется в результате такого преобразования.
Доказательство. По определению, q(у) = и"у(у)\и\(у), где нижний индекс обозначает дифференцирование по у. Соответствующей функцией полезности для X служит w(x)=u(y*—х). Беря производную от w(x) по ху получаем
"*{х) = ~dy [u^-**' лГ = "*(у)(~1)г
»;wW]=-^-[-«>)]-?-=-«>)(-!).
Подставляя это в r(x)=—w"x(x)/w'x(x)t имеем
и у {у) и (у) и"Лу* — X)
'M= -—~-= —,—' = —г--
— иу (у) иу (у) иу (у* — X)
Таким образом, f(x) = q(y*—x). Заменяя переменные, получаем q(y)=r(y*—y).
4.8.3. Возрастающая, постоянная и убывающая несклонность к риску. Самым важным понятием, связанным с убывающими функциями полезности, является, по-видимому, понятие возрастающей несклонности к риску. Определим формально это понятие и покажем его важность. При убывающих функциях полезности у индивидуума возрастающая несклонность к риску, если: а) он не склонен к риску и б) надбавка за риск л(х, х) к любой лотерее х для него возрастает при возрастании опорной величины х. Заметим, что определение «возрастающей несклонности риска» формулируется в тех же терминах, что и в случае определения этого понятия при монотонно возрастающих функциях полезности. Однако, поскольку в этих двух случаях надбавка за риск определена по-разному, определения возрастающей несклонности к риску оказываются различными. ,
Если у принимающего решение возрастающая несклонность к риску, то из этого следует, что надбавка за риск, которую он заплатил бы, чтобы избежать участия в лотерее <х—A, x+h>> увеличивается при увеличении х. Это может представляться разумным, если X характеризует, например, издержки. Для малых X принимающий решение мог бы позволить себе принять участие в лотерее, но с увеличением X он, возможно, будет вынужден отказаться от участия в той же лотерее, поскольку потенциально возможные высокие убытки могут привести к серьезным финансовым затруднениям.
Эти соображения приложимы и к задачам принятия решений, связанным с пожарной службой, когда X представляет период реагирования при вызове к месту пожара. Руководитель может предпочесть лотерею <1,3> периоду реагирования, равному 2,2 мин, но предпочесть также 4,2 мин лотерее <3,5>. Другими словами, он не захотел бы заплатить надбавку за риск, равную 0,2 мин, чтобы избежать <1,3>, но заплатил бы эту надбавку, чтобы избежать <3,5>. Следовательно, руководитель, имея дело с большими периодами реагирования, предпочитает поступать более консервативно, поэтому его функция полезности должна отражать возрастающую несклонность к риску.
Другое соображение состоит в следующем. Предположим, что функция полезности руководителя — убывающая по X и у него возрастающая несклонность к риску. Тогда, если мы перейдем к критерию У, значения которого есть у=х*—х, то функция полезности по Y должна быть возрастающей и отражать убывающую несклонность к риску. То есть понятие возрастающей несклонности
178
к риску для убывающих функций полезности соответствует понятию убывающей несклонности к нему для возрастающих функций полезности.
Теорема 4.28. Если убывающая функция полезности и(х) отражает возрастающую несклонность к риску и если у=х*—х, то функция полезности w(y)— возрастающая и отражает убывающую несклонность к риску.
Доказательство. Если q(х) — функция несклонности к риску для и (х), а г (у)—функция несклонности к риску для w (у) , то результат получается непосредственно из теоремы 4.27.
Таким образом, интуитивные соображения, приведенные для убывающей несклонности к риску при возрастающих функциях полезности, остаются в силе и для рассматриваемого случая.
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 261 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed