Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
предпочитает х лотерее <*', х">, в которой ожидаемый выиг-
148
рыш также равен х, то он тем самым фактически говорит, что предпочитает избежать риска, связанного с лотереей. Это означает, что, хотя X и х"> имеют одинаковые ожидаемые выигрыши, он предпочитает достоверный исход х9 ибо в этом случае он ничем не рискует, в то время как исход лотереи связан с определенным риском. Если принимающий решение ведет себя таким образом по отношению ко всем лотереям, то мы іговорим, что он не склонен к риску. Формализуем это понятие.
Определение. Принимающий решение не склонен к риску, если он предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш в любой невырожденной*) лотерее вместо участия в этой лотерее.
В такой ситуации полезность ожидаемого выигрыша любой лотереи должна быть больше ожидаемой полезности этой лотереи. Таким образом, мы не склонны к риску, если для любой невырожденной лотереи
и[Е(х)]>Е[и(х)], (4.11>
где X — возможные выигрыши лотереи.
Теорема 4.3. Принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута.
Доказательство. Рассмотрим лотерею, дающую х\ с вероятностью р и X2 с вероятностью 1—р, 0<р<1. Ожидаемый выигрыш равен х=рх\+(\—р)х2. Для функции полезности при несклонности к риску из (4.Ill) получаем
u[pxi+(l—р)х2]>ри(Xi) +(1—р)и(х2), 0<р<1,
что является определением (строгой) вогнутости.
Для доказательства обратного утверждения (имеющего место только в случае конечного числа исходов) рассмотрим лотерею хг дающую Xi с вероятностью рІ9 і= I9 m, где ни для одного і неверно, что Pi=I. Так как и строго вогнута, то, как известно,
m m
U[L piXi]>l PiU (Xi) .
L = i і—1
Но это неравенство при конечном числе исходов есть в точности (4.11), так что и отражает несклонность к риску.
Для того чтобы установить, является ли принимающий решение-несклонным к риску или нет, практически невозможно проверить выполнение условия (4.Tl) для всех невырожденных лотерей. Здесь полезным оказывается следующее следствие.
Следствие. Принимающий решение, который предпочитает получение наверняка ожидаемого выигрыша любой лотереи 50—505 <Xi, х2> участию в самой лотереи, не склонен к риску.
Доказательство. Из предпосылки следует, что
U (х) =U(^/2Xi + ^j2X2) ^> ^j2U (х{) + ^j2U (Х2) ДЛЯ ВСЄХ ^1=7^=^2,
а это влечет вогнутость.
*> Невырожденной называется лотерея, не содержащая выигрыша, который можно получить с вероятностью 1.
149
Отступление. Из любого курса экономики можно узнать, что убывание маргинальной полезности влечет вогнутость функции полезности и наоборот. Здесь мы выделили термин «функция полезности» курсивом, так как эта -функция, рассматриваемая в экономике совершенно отличается от функции полезности по фон Нейману — Моргенштерну, являющейся предметом рассмотрения в настоящей главе. Это различие представляется достаточно важным для того, чтобы сделать небольшое отступление.
Когда экономист говорит, что «его маргинальная полезность по критерию X убывает», он подразумевает, что разница в единицах полезности (которые никогда явно не определяются), связанная с увеличением X от х до я+1, убывает при возрастании х. Никаких вероятностных понятий здесь не вводится, и ожидаемая полезность, вычисленная на основе такой функции полезности, не имеет тех конкретных интерпретаций, которые существуют в случае функции полезности по фон Нейману — Моргенштерну.
В качестве примера функции полезности нашего экономиста (с убывающей маргинальной полезностью) предположим, что мы оцениваем в 8 единиц полезность однодневной лыжной прогулки, в 14 единиц полезность двухдневной прогулки, в 18 единиц трехдневной и т. д. Тогда мы могли бы сказать, что первый день «стоит» 8 единиц, второй — дополнительных 6, третий — оставшихся 4 единицы. Маргинальная полезность каждого дополнительного дня лыжной прогулки является убывающей. Однако если нам нужно выбрать между проведением двухдневной лыжной прогулки наверняка и участием в лотерее, дающей с равными вероятностями одно- или трехдневную прогулку, то мы не можем указать предпочтительный выбор исходя из такой функции полезности. Дело обстоит именно так, хотя ожидаемое количество единиц для лотереи равно 13, тогда как полезность двухдневной прогулки равна 14. Понятие «ожидаемого числа единиц полезности» бессмысленно. Функции полезности о которых мы говорим в этой главе, полностью отличаются от функций полезности, рассматриваемых экономистами Знание одной очень мало дает для знания о другой. Для одного и того же критерия одна вполне может быть выпуклой, а другая — вогнутой.
Вернемся к нашему лицу, !принимающему решение, и допустим, что он не хочет вести себя консервативно. Предположим, что принимающий решение предпочитает участие в любой лотерее получению наверняка ожидаемого выигрыша этой лотереи, т. е. он охотно идет на риск, связанный с любой лотереей. Такой тип поведения называется склонностью к риску.
Определение. Принимающий решение склонен к риску, если он предпочитает участие в любой невырожденной лотерее получению наверняка ожидаемого выигрыша этой лотереи.
