Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Критерии называются попарно независимыми по предпочтению, если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от их дополнения.
Короче говоря, теорема 3.3 гласит, что аддитивность равносильна попарной независимости по предпочтению.
Теорема 3.3 является действительно замечательной. Вспомним, что для получения аддитивного представления в случае двух критериев X и У мы должны были наложить весьма ограничительное условие соответственных замещений. Ничего подобного здесь не требуется. Если мы знаем лишь, что пара {X, Y} независима по предпочтению от Z9 то мы не можем сказать, что условные предпочтения для X и У будут удовлетворять условию соответственных замещений. Но как только мы допускаем попарную независимость по предпочтению, то структура условного предпочтения для любой пары критериев, при любом фиксированном значении оставшегося критерия «преодолевает барьер» соответственных замещений. Не давая формального доказательства этих утверждений, посмотрим, как можно убедиться в их справедливости.
Вспомним, как мы строим функции Vx и uy, используя процедуру совместного шкалирования для двух критериев (см. п. 3.4.6). Сначала мы произвольно выбираем величины х0у Уо и х\. Затем последовательно используем предпочтения лица, принимающего решение, для получения у и X2 и у2. До этого момента условие соответственных замещений не требовалось. Перзый раз к этим условиям приходится обращаться для того, чтобы установить, что точки (Х[, у2) и (х2, у\) одинаковы по предпочтительности. Каким образом теперь введение Z и принятие попарной независимости по предпочтению упраздняет это условие? Вернемся не-¦ много назад и начнем процесс измерения с самого начала для трех критериев.
1. Вначале выбираем х0, у0 и Zo и полагаем
V(X09 у о, Zo) = Vx(xo) = vY(yo) = Vz(Z0) =0.
2. Затем произвольно выбираем х\ и определяем у\ и г\ так, чтобы было справедливо
(Xi9 У О, Z0) ~ (Xq9 у и Zo) ~ (Х0, У о, Zx}:
Полагаем vx(xi) = vY(yi) = vz(zi) = l.
3. Теперь обратим внимание, как взаимная независимость по предпочтению позволяет нам прийти к выводу, что
(Xu Уи Z0) ~ (Хи Уо, Z1) ~ (Xq9 yU Zi).
Например, из этапа 2 мы знаем, что (Х\9 у0) и (*о, yi) обладают одинаковой условной предпочтительностью при фиксированном Z0.
по
Следовательно, они должны быть эквиваленты и при фиксированном Zu или (хи yo> Zi) ~ (х0, уи Zi).
Из этапа 2 мы знаем также, что (хи z0)~(x0, Zi) при фиксированном уо, и, следовательно, в силу независимости по предпочтению {X9 Y} от Z это же верно при фиксированном уи Но отсюда следует (Xu у и Z0) ~ (х0, у и Zi).
4. Затем определим х2, у2 и Z2 так, чтобы было справедливо
(*2> УОу Z0) ~ (х09 y2i Z0) ~ (х0, Уо, Z2) ~ (Xu Уи Z0).
Теперь мы в состоянии обсудить решающий этап, о котором говорили раньше: почему мы можем считать, не используя условия соответственных замещений, что (х2, уи Zq)~(Xu y2t Zo)?
«Хитрость» состоит в том, что нам нужно показать справедливость
(X29 уи Z0)~(Xu Уи Zi)9 (хи Уъ Zo)~(xu у и Zi)
и по свойству транзитивности получить требуемое. Мы знаем, что (х29 уо9 Zo) ~ (хи уо, Zi)9 и, поскольку {X9 Z) не зависит по предпочтению от Y9 мы можем спокойно заменить у0 на уі в этом отношении безразличия. Следовательно,
(х29 уи Z0) ~ (X1, уи Zi).
Мы завершаем наши рассуждения, показывая аналогичным образом, что
(Xl9 #2, Zo) ~ (Xu Уи Zi).
Хотя приведенный выше довод — далеко не доказательство, он делает теорему значительно более ясной и даже прозрачной. Но, разумеется, существует большое различие между эвристической правдоподобностью и формальным доказательством.
3.5.4. Ослабление предположений аддитивности. Результатами, подобными теореме 3, мы интересуемся главным образом для того, чтобы подобрать приемлемую совокупность предположений о предпочтениях лица, принимающего решение (в данном случае предположений о независимости по предпочтению), и исходя из них получить конкретное и удобное математическое выражение, согласованное с такими предпочтениями. Во всякой задаче мы вначале пытаемся выяснить приемлемость условий, а затем построить функцию ценности для лица, принимающего решение. Следовательно, крайне желательно сократить количество . условий, приводящих к конкретной функциональной модели предпочтений. Для этой цели полезен следующий результат.
Теорема 3.4. Если
а) {X, Y) не зависит по предпочтению от Z,
б) {Y3 Z) не зависит по предпочтению от X;
то
в) {X, Z) не зависит по предпочтению от Y.
Ш
Формальное доказательство теоремы 3.4 имеется в работе Гор-мана (1968 а). Здесь же мы попытаемся раскрыть «физический смысл» этого результата.
Пусть точки А и В имеют общую координату у (см. рис. 3.23) и пусть А~В. Для того чтобы доказать, что {X9 Z) не зависит
по предпочтению от Y9 мы должны показать, что если изменить координату у точек А и В (сохраняя коорди-A наты у для обеих точек рав-
Іньїми), то новые точки оста-^ нутся одинаковыми по предпочтительности. Сначала вы-
^_^ берем точку C9 которая име-
\ 5" ет общие координаты х с точкой Лиге точкой В, так, чтобы было С~А~В. Теперь, так как А~С и {У, Z) не зависит по предпочтению от X9 то D~E.
