Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
кая «невинная ложь» будет ^ ^
простительна.) Четыре типичных коэффициента замещения рис. 3.12. Коэффициенты замещения, задля этого случая изображены висящие от у, но не от х на рис. 3.12.
Примером составной функции ценности, которая создает подобную структуру локальных коэффициентов замещения, является функция
v(x9 y)=x+vY(y), (ЗЛІ)
где через vy(9) обозначена функция одной переменной у.
.__у___
95
Бели принимающий решение считает, что коэффициент замещения зависит от у9 но не от х> то как эта 'качественная информация может помочь при построении подходящей функции V? Мы сейчас покажем, что в этом случае v может быть представлена в виде (3.11).
Если Вы находитесь в точке (лгь ух), то сколько единиц X Вы согласились бы заплатить за увеличение У от у\ до у2? Для того чтобы ответить на этот вопрос,.обозначим через X(у) предельный коэффициент замещения в точке (х, у). Такое обозначение указывает на зависимость X от у, но не от х. Допустим, что в первом приближении за малое увеличение А по У Вы согласились бы заплатить Х(у)А единиц X9 следовательно, за переход из у\ ву2 Вы согласились бы заплатить
Vt
J 4y)dy
Ух
единиц X. Пусть уо — минимальное значение У для нашей задачи. Определим функцию
МУ')= J 4y)dy. (3.12)
у.
Функцию Vy можно считать функцией глобального замещения между У и X9 функция Vy показывает, что принимающему решение безразлично, что выбрать
(хи ух) или (хх—[vYШ— Vy(y\)]> у2), т. е. увеличение У от значения у\ до у2 (стоит) Vy (у2)—vY(у\) единиц X.
В итоге мы шриходим к следующему важному результату.
Теорема 3.1. Предельный коэффициент замещения между X и Y зависит от у, но не от х тогда и только тогда, когда существует функция ценности вида
v(x9 y)=x + vY(y)9 . (3.13)
где Vy — функция ценности по критерию У.
Несколько иначе этот же результат был изложен Прузаном и Джексоном (1963).
Построение vY. Проблема измерения в случае справедливости выражения (3.13) сводится к соответствующему построению функции Уу. Людям обычно трудно дать осмысленные количественные ответы об их отношении к малым изменениям значений критериев. Следовательно, в 'большинстве случаев аналитик не смог бы построить Vy, вначале определив Х(у)9 г затем используя выражение (3.12). Но если он сможет получить vY каким-то другим путем, то для нахождения X (у) можно воспользоваться выражением, обратным к (3.12), вычислив
-^rVy(y). dy
96
Один из путей отыскания Vy состоит в том, чтобы произвольно принять ?>у(уо)=0. При таком выборе начала отсчета мы можем интерпретировать vY(у) как.сумму (в единицах X), которую принимающий решение согласен заплатить за переход от у0 к у. Таким образом, аналитик может в принципе непосредственно получить значения Vy в выбранных точках уи У2, ... и провести через них «на глаз» плавную кривую. Однако аналитику более целесообразно вначале постараться узнать побольше о качественной структуре vY, прежде чем заниматься количественными деталями. Например, часто оказывается, что принимающий решение согласился бы платить все меньше и меньше за фиксированное увеличение А по Y по мере того, как растет у. Иначе говоря, он считает, что
Vy(У+A) —Vy(у) <Vy(у)—®г(у—А) при любых у, А>0Т
(3.15)
т. е. дешевле перейти из у в у+Ау чем из у—А в у, какими бы ни были значение у и положительная величина А. Качественное определение приемлемости (3.15) влечет за собой строгую вогнутость Vy, а это указывает, говоря языком классической экономики, на уменьшение маргинальной ценности (заметим, что мы избегаем выражения «уменьшение маргинальной полезности», так как4 используем термин «полезность» в другом смысле (см. § 4.4)). Если аналитик выяснит, что подходящей формой для vY является вогнутая функция (рис. 3.13), то он может получить Vy с приемлемой точностью, установив ее численные значения в небольшом числе точек.
Рис. 3.13. Вогнутая функция цен- Ряс. 3.14. Функция ценности, не являющая-ности для критерия Y ся вогнутой
Для того чтобы не создалось впечатление, будто vY должна быть обязательно вогнутой, рассмотрим другой распространенный тип качественной структуры Представим, что принимающий решение считает, что существует некоторый небольшой интервал в районе, например, значения уи где положение оказывается «критическим». Переход от у\—А к t/i + A может быть намного более существенным, чем переход от у і + А к у\ + ЗА или от у і—ЗА к Ух—А. Проводя качественное исследование, аналитик смог бы прийти к заключению, что функция vY для такого лица, прини-4—67 97
мающего решение, в какой-то мере похожа на функцию, изображенную на рис. 3.14.
Изменение шкалы в целях линеаризации. Если предельный коэффициент замещения зависит от у, но не от X9 то кривые безразличия будут получаться в результате сдвига по горизонтали друг относительно друга. Одна кривая безразличия может породить другую простым перемещением по горизонтали, как показано на рис. 3.15, а. Кривые безразличия можно «выпрямить», заменив переменную У на Z через функцию vY. Так, если мы определим
Z = Vy(V)9 (3.16)
то точка (х9 у) на рис. 3.15, а становится точкой \(х9 г) на рис. 3.15, б, где z и у связаны соотношением (3.16). Кривая безразличия С на рис. 3.15, а преобразуется в прямую <L с угловым коэффициентом — 1 на рис. 3.15, б.
