Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
3.22. Заметим, что х' зависит от выбора у' и точки (ху у). Для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, будем писать
S=T(X9 у; у*). (3.22)
107
Отметим также, что в обозначениях, принятых для трехмерного пространства,
(х> У, г) ~(х'9 у', Z) ДЛЯ ВСЯКОГО 2. (3.23>
Следовательно, сравнение по предпочтительности любых двух троек (х\, yi, Z\) и (Х2, у% Z2) может быть сведено к сравнению по предпочтительности (х'и у\ Zi) и (х'2, у\ Z2), где x't=T(xi, yi, у') и х'2=Т(х2, у2, у').
Таким образом, наша общая задача измерения теперь формально сводится к рассмотрению структуры условного предпочтения для {X, Z) при фиксированном уровне у' критерия У. Вместо того чтобы сравнивать (xu ух, Zx) и (х2, у2, Z2) в трехмерном пространстве, мы теперь должны произвести сравнение (#'i, Zi) и (V2, Z2) при условии, что значение у' фиксировано. Мы, по существу, использовали наше предположение, чтобы свести сравнение в трехмерном пространстве к сравнению в двухмерном пространстве.
Несколько слов о преобразовании Г. Допустим, что в множестве Л все действия пронумерованы: Л = {аь а*, ап}. Напомним еще раз, что пара {X9 Y) независима по предпочтению от Z. Если п мало, то может иметь смысл попросить лицо, принимающее решение, прямо указать для каждого а\ такое значение Хг(ах)9 при котором будут одинаковы по предпочтительности [X(at), Y(ai)] и [X'(а{)9 у']. Может случиться, что получить ответы на такие п вопросов будет намного легче, чем установить структуру условного предпочтения на плоскости (х, у).
Если п очень велико, то этот способ становится нереальным. Однако, если мы вправе представить функцию ценности на плоскости (х, у) в виде
v(x, y) = vx(x) + vY(y)
(см. п. 3.4.5), то х'=Т(х9 у\ у') будет таким, что
Vx {Xf)-Vx (X) = Vy (у) —Vy (у'),
и преобразование T можно будет выполнить.
Если п велико, а функцию v нельзя представить в простом виде, то мы оказываемся в затруднительном положении, но не безнадежном. Мы могли бы, например, наметить разумное число точек (xi, yi), (Xj9 t/j), (xm, ym) например десять (m=10), и попросить лицо, принимающее решение, назначить для каждого / значение xf J9 при котором (x'jt у') ~ (Xj9 yj) или, что эквивалентно, X7J=T(Xj9 уj\ у').
Внимательно изучив зависимость x'j от Xj и yj (напомним, что у' фиксировано для всех /), мы могли бы построить приемлемую и простую компромиссную функцию T9 которая достаточно близко проходила бы к данным точкам и позволяла экстраполировать значение х' для любой другой пары (х9 у). Для выполнения подобного рода аппроксимации может быть использовано большое количество разнообразных методов.
108
Разумеется, если пара {X9 У} независима по предпочтению от Z, то, вместо того чтобы приводить каждое значение у к базовому у' и определять х' согласно (3.22) и (3.21), мы могли бы, например, проводить X к базовому значению хг и определять у! как такое значение, У, для которого
(jc, у, г) ~ (х\ у\ z) для всякого z.
За этим приведением затем последовал бы анализ условных предпочтений YnZ при фиксированном jc=jc'.
Существуют еще и другие возможности. Предположим, например, что в какой-то конкретной ситуации естественно ожидать, что у примерно равен произведению h и х. В этом случае для любой пары (х, у) мы могли бы выбрать значение хг такое, что
(х, у, z) ~ (х', hx\ z) для всякого z.
Такое понижение размерности затем сопровождалось бы анализом условных предпочтений для критериев XnZ при том условии, что у не является независимой переменной и всегда равняется произведению Ля.
3.5.3. Взаимонезависимость по предпочтению и существование аддитивной функции ценности*). Если предпочтения для троек (л:, у, z) могут быть описаны с помощью функции v, имеющей аддитивную форму
v(x, y,z) = vx(x) + vY(y) + vz(z)9
то очевидно, что
а) пара {X9 Y) независима по предпочтению от Z9
б) пара {X9 Z) независима по предпочтению от Y9
в) пара {Y9 Z) незавасима по предпочтению от X.
Однако гораздо важнее и совершенно неожиданно то, что справедливо и обратное утверждение.
Теорема 3.3. Функция ценности v может быть представлена в аддитивной форме
v(x9 у9 z) =vx(x) + vY(y)+v2(z)9 (3.24);
где Vx, vY и Vz — функции ценности одного критерия, тогда и только тогда, когда {X9 Y} не зависит по предпочтению от Z> {X9 Z) не зависит по предпочтению от Y и {У, Z) не зависит по предпочтению **> от X.
Этот результат впервые был получен Дебре (1960). Несколько более общее доказательство дали Крантц и др. (1971). Поскольку в литературе имеются формальные доказательства, мы их опус-
*) В этом параграфе мы полагаем, что все три критерия существенны, т. е. структура предпочтений не может быть описана полностью при использовании только двух критериев из трех.
**> Условие, состоящее в том, что каждая пара критериев должна быть независимой по предпочтению от оставшегося критерия, будет ослаблено в следующем параграфе. Будет показано, что, грубо говоря, любые два из трех сформулированных выше предположений о независимости по предпочтению влекут выполнение третьего.
109
тим и просто постараемся проиллюстрировать правдоподобность этого результата. Но прежде чем это сделать, дадим важное для нашего рассмотрения определение.
