Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если У не зависит по предпочтению от Z и Z не зависит по предпочтению от У, то структуры предпочтений в пространствах у и z могут рассматриваться отдельно друг от друга. В частнос-ности, если в этом случае V9 Vy к Vz — подходящие функции ценности, аргументами которых являются (у, z), у и z соответственно, то
v(y, z)=f(vY(y), vz(z)).
Практически это означает, что лицо, принимающее решение, может независимо структуризировать свои предпочтения как по у, так по z. Затем следует заняться исследованием замещений между Vy(у) и Vz{i)9 т. е. задачей, которую мы анализировали в § 3.4, когда рассматривали случай двух критериев. Таким образом, мы подошли к следующему вопросу: если Vy(у) =v°y и uz(z)=u°z, то сколько единиц по Vy Вы (как лицо, принимающее решение) согласны уступить за увеличение vz от v°z до v'z? Сложность этого вопро-
114
са состоит в том, что функции ценности Vy и vz могут не иметь содержательного смысла, так как они определяются с точностью до монотонных преобразований. Как же поступить? Одно из предложений заключается в следующем. Допустим, что
У= {Xi9 X29 X8) и Z=[X8+I, Xs+2, ...» Xn}.
Выберем типичные значения х°2, x°s, x°s+2, ...» х°п и рассмотрим структуру условных предпочтений в пространстве (Х\9 xs+i) при фиксированных х°2, x°S9 x°s+2t х°п. Это уже задача, которую «можно понять».
Пусть, например, в этом подпространстве
при фиксированных х°2, x°s, x°s+2, х°п. Тогда в пространстве vY> Vz мы имеем
(VY(X'U Х°2у X°s), Vz(Xf8+U X°s+2t X?n))~(vY(x?u Х°2, X°s),
Vz{x"s+U X°s+2, Х°п)) .
Грубо говоря, мы можем построить кривые безразличия в пространстве vy, Vz, рассмотрев замещения для двух компонент, одна из которых принадлежит множеству У, а другая — множеству Z при фиксированных значениях всех остальных компонент.
. 3.6.2. Взаимная независимость по предпочтению и существование аддитивной функции ценности.
Определение. Критерии Xi9 Xn взаимонезависимы по предпочтению, если каждое подмножество У этого множества критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения.
В предыдущем параграфе, касающемся случая трех критериев, было показано, что взаимная независимость по предпочтению влечет за собой существование аддитивной функции ценности *>. Этот вывод справедлив также и в случае более чем трех критериев.
Теорема 3.6. Для критериев Хи Xn, /г^>3, аддитивная функция ценности
п
v(xi9 X29 Xn)= S Vi(X1) (3.26)
(где Vi — функция ценности по критерию Xi) существует тогда и только тогда, когда критерии взаимонезависимы по предпочтению.
Формальные доказательства этой теоремы имеются в работах Дебре (iDebreu, 1960), Фишберна (Fishburn, 1970) и Крантца и др. (1971). Прузан и Джексон (1963) также получили этот результат.
Основные моменты доказательства для случая трех критериев мы уже неформально обсуждали и поэтому повторять их здесь
*) В следующем пункте будет показано, что при трех и более критериях попарная независимость -по предпочтению эквивалентна «взаимной независимости по предпочтению.
115
не будем. Кроме того, доказательство для п>3 можно провести, опираясь на доказательство для п=3, если разбить Хь Xn на три векторные переменные и использовать аддитивность для трехмерного случая.
В следующем параграфе мы подробно проведем построение функции ценности для четырех критериев в .гипотетическом примере. При этом выявятся некоторые особенности взаимосвязи между условиями независимости по предпочтению и аддитивными функциями ценности.
3.6.3. Ослабление условий аддитивности. Теорема 3.6 является очень полезной, так как аддитивная функция ценности представляется нам самой простой. Однако, как показывает формулировка этой теоремы, число условий независимости по предпочтению, которое нужно было бы проверить, становится астрономически большим даже при не очень большом п, например равным 10. Ясно, что для произвольного п существует п (п—1)/2 пар критериев, которые должны быть независимымы по предпочтению от их соответствующих дополнений, не говоря уже о тройках критериев и т. д. К счастью, результаты Леонтьева (1947а, 19476) и Гормана (1968а, 19686) избавляют нас от большей части такой работы. Сначала мы сформулируем этот результат, а потом обсудим его.
Теорема 3.7. Пусть Y и Z— пересекающиеся подмножества множества критериев S=(Ji, Xn}, но ни одно из них не содержится в другом, а их объединение Y (J Z не совпадает с S. Если каждое из подмножеств Y и Z не зависит по предпочтению от своего дополнения, то любое из следующих множеств критериев:
(О Y U Z,
'(и) Y(]Zf
(iii) Y-Z и Z—Y,
(iv) (Y-Z) U (Z-Y)
независимо по предпочтению от своего дополнения.
Формальное доказательство этого результата можно найти в работе Гормана (1968а) *>.
Для того чтобы понять суть теоремы 3.7, предположим, что S={Xly X2, Хг, Xa}, Y= {X1, X2} и Z= {X2, X3}. Теорема гласит, что если {Хи X2} и {X2, Xs} независимы по предпочтению от {X3, X4} и {Xi, Xt} соответственно, то
(і) объединение Y \jZ, т. е. (Хь X2, Хз}, не зависит по предпочтению от х4;
*) Если каждое из подмножеств Yu Y2,...,Ym множества S= {Xi, X2,Xn} не зависит по предпочтению от своего дополнения, то мы можем несколько раз последовательно использовать теорему 3.7, чтобы получить все вытекающие отсюда условия независимости по предпочтению и тем самым в наиболее возможной степени упростить получающуюся функцию ценности. Общий результат такого характера, доказанный в § 6.9 с использованием «независимости по полезности», является аналогом теоремы 3.7.
