Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
116
r (ii) Пересечение Y f\Z, которое состоит из X2, не зависит па предпочтению от его дополнения {Xi, X3, Xt};
(iii) Xi9 как Y—Z9 и X3, как Z—Y9 не зависят по предпочтению от своих дополнений;
(iv) {Хь Xz} не зависит по предпочтению от {X29 X4}.
Двумя наиболее важными для приложений частями теоремы 3.7 являются (і) и (iv). Эти два результата позволяют сократить число условий независимости по предпочтению, проверка которых необходима для введения аддитивной функции ценности в соответствии с теоремой 3.6, до п—1, где п — число критериев.
Неформальное доказательство теоремы 3.4, приведенное в п. 3.5.4, проливает некоторый свет на то, почему справедлива часть (iv) теоремы 3.7. Постараемся теперь объяснить, почему справедлива часть (і).
Сущность доказательства можно уяснить, рассматривая специальный случай, в котором
X= (#ь X29 Xz, Xa)
У= {Хи X2}, Z=(X2, X3}.
Если и У, и Z независимы по предпочтению от своих дополнений^ то, как мы сейчас покажем,
У U Z= {Xu X2, X3}
также не зависит по предпочтению от своего дополнения. Мы должны показать, что
Wu Xf29 х'Ъу **4)>Ч*"ь *"2, *"а, х*А)] ш$ [{хги х'29 *'3, х*)>
хА] (3.27}
ДЛЯ ВСЯКОГО Х\.
То есть, если (х'и х'2, х'$)У> (х"и x2 у xf'z) верно при Х*а9 то это же верно при любом фиксированном ха. Пусть xf"\ таково, что
(АЛ)-(ДЛ).. (3.28>
Заметим, что это соотношение оправдано, поскольку {Хь X2} не зависит по предпочтению от своего дополнения*).
Из справедливости соотношений (3.27) и из (3.28) вытекает
(X"'и х"2, *'з, х**)У (х-и xff29 х"г> (3.29>
Но поскольку {Xi, X3} не зависит по предпочтению от {X2, X4} г то из (3.29) для любого Xa следует, что
(Xf"и х\у х'Ъу xa)>(x"u x,f29 x"Zy xA). (3.30J
Используя (3.28) и независимость по предпочтению {Хь X2} от своего дополнения, получаем
_ \xfи xf2y x'zy ха) ~ t(x"'u xfr29 x'zy хА). (3.31}
*> Здесь мы предполагаем, что х\ и х'\ выбраны так, что х"\9 удовлетворяющий (3.(28), существует. Разрешимость и непрерывность, предполагаемые в этой главе (см. § 3.1), влекут его существование.
117
Из (3.31) и (3.30) по транзитивности мы получаем правую часть (3.27). Это доказывает наше утверждение.
Следствие. Если каждая пара критериев не зависит по пред-почтению от своего дополнения, то критерии взаимонезависимы мо предпочтению.
Доказательство можно провести методом математической индукции с !использованием части (і) теоремы 3.7: если это верно для любого подмножества «из # критериев (?^2), то можно показать, что это верно для k+l критериев. Детали мы опускаем.
3.6.4. Выбор независимых по предпочтению множеств критериев. Из теоремы 3.7 следует, что существует большое количество возможных комбинаций независимых по предпочтению подмножеств критериев, влекущих взаимонезависимость по 'предпочтению критериев из множества {Хь X2, Xn}. Простейшей является комбинация, їв (которой {Xu Хг-н} <не зависят по предпочтению от своих дополнений при і = 1, п—1.
Для того чтобы увидеть, как !«работает» эта комбинация, предположим, что п = 5 -и 'каждое іиз множеств
{Xi, X2}, {X2, X3}, {X3, X4}, {X4, X5}
обладает 'Свойством независимости по предпочтению (НП-свойст-вом), т. е. каждое из лих не зависит по предпочтению от своего дополнения. Тогда из части (iv) теоремы 3.7 мы заключаем, что
{ХЬХ3}, {X2, X4} и {X3, X5}
Л'акже обладают НП-свойством. Повторяя этот прием, мы затем
лолучаем, что
{X1, X4} и {X2, X5}
обладают НП-свойством. Наконец, мы видим, что {X1, X5} также имеет НП-евойство. Таким образом, мы видим, что каждая пара обладает НП-свойством. Но мы знаем из предыдущего следствия, . что тогда и каждая тройка должіна обладать НП-свойством и т. д.
Другой совокупностью из п—1 предположений, которые влекут взаимонезависимость критериев {X1, Xn}, является следующее: каждая пара {Хи Хг}, і = 2, п, 'независима по предпочтению от своего дополнения. Рассуждения подобны проведенным выше.
Для того чтобы привести более сложный пример, предположим, что имеется пять критериев {Хь X2, X5} 'и следующие подмножества критериев не зависят по предпочтению от своих дополнений:
а) {X1, X2},
б) {X2, X3},
в) {X1, X2, X3, X4},
г) {X2, X3, X4, X5}.
Нетрудно доказать, что предположения (а) — (г) влекут взаимонезависимость по предпочтению. Из (а) и (б) следует независимость
118
по предпочтению {X\f X2, Xz} от {X4, X5}. Отсюда с использованием (г) и части (iii) теоремы 3.7 вытекает, что {X4, X5} не зависит по> предпочтению от своего дополнения. Точно так же, )(а) и (г) влекут независимость по предпочтению {X3, X4, X5} от {Хи X2}, а па этого и (в) следует, что {X3, X4} не зависит по предпочтению от {Х\, X2, X5}. Таким образом, мы видим, что {Xif Xw}9 i'=l, 2, 3, 4, независимы по предпочтению от своих дополнений. Отсюда следует взаимонезависимость Xi по предпочтению.
Ясно, что на практике было бы неразумно проверять непосредственно все возможные условия независимости по предпочтению.. Еоли имеются соображения о том, какие условия являются наиболее подходящими для получения полезных результатов, то процесс построения функций ценности можно значительно облегчить. Тинг (1971) предложил несколько подходов, которые могут оказаться полезными для этой цели. Один из наиболее плодотворных состоит в том, чтобы искать естественные группы критериев. Например, в* проблеме выбора места для ядерной электростанции цели, выносимые на первый уровень в иерархии целей и получаемые прп конкретизации («раскрытии») общей цели, можно определить, рас» смотрев такие аспекты, как денежные расходы, воздействие на окружающую среду, здоровье людей, а также политические факторы. Дальнейшая конкретизация повлечет за собой привлечешь большого числа критериев. Однако вполне естественно, оставаясь на этом нервом уровне, попытаться выяснить с помощью лицаг принимающего решение, не являются ли некоторые группы критериев независимыми по предпочтению от каких-то других групп критериев. Возможно, при этом мы могли бы прийти IK заключению о том, что существует аддитивная функция ценности, определенная,, например, для этих четырех основных групп критериев,
