Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
90
3.3.3. Функции ценности. Функция v, которая каждой точке х пространства последствий ставит в соответствие действительное число v(x), называется функцией ценности, представляющей
Рис. 3.7. Последствие х° является лучшим в R Рис. 3.8. Монотонно возрастающая числовая функция Г, связывающая две стратегически эквивалентные функции Vi и vz
структуру предпочтений принимающего решение, в том случае, если
х' ~ х"?**$ V (х') = и {х"), (3.8а):
x'>x"?*^v (х') >v (х"). (3.86)
Некоторые типичные примеры функций ценности для п=2:
V (X)=CiXi +C2X2, где Сі>0, с2>0,
v(x)=xiax2$, где а>0, ?>0, V (х) = CiXi + C2X2 + Cz (хх—Ьі)а (х2—Ь2) Р.
Если и — функция ценности, отражающая предпочтения лица, принимающего решение, то рассматриваемая задача может быть сформулирована в форме стандартной задачи оптимизации: найти а^А, которое максимизирует v[X(a)].
Позднее мы увидим, что существует тесная связь построения структуры предпочтения с отысканием соответствующей іфункции ценности. В частности, мы можем использовать функции ценности для того, чтобы помочь лицу, принимающему решение, четко выразить свои предпочтения. /
3.3.4. Кривые безразличия и функции ценности. При заданной функции ценности V любые две точки х' и х", такие, что v(x') = —v(x"), должны быть одинаковыми по предпочтительности и лежать на одной и той же поверхности безразличия. Следовательно, мы видим, что если задана v, то в принципе можно найти кривые безразличия. Более того, знание функции v позволяет однозначно определить всю структуру предпочтения. Обратное, однако, неверно: структура предпочтения определяет функцию ценности неоднозначно.
Определение. Функции ценности Vi и V2 стратегически эквивалентны (это записывается так: Vi ~ V2), если V\ и V2 имеют одни
91
и те же кривые безразличия -и 'приводят к одному и тому же индуцированному упорядочению по предпочтению.
Предположим, что Vi — функция ценности, совместимая с данной структурой предпочтений. Пусть Г(») — любая монотонно возрастающая числовая функция (действительной переменной), как, например, показано на рис. 3.8. Если мы теперь определим v2(x) = T[vi(x)]f то для отыскания оптимального аеЛ будет не существенно, что максимизировать: Vi или V2. Функции ценности Vi и V2 стратегически эквивалентны.
Например, если все Xi положительны и
Vx(х)= 2 kiXi, ki>0 для всех і,
і
ТО
V2(X) = YlkiXi
и*)
t,3(x)=log(S kiXi)
будут стратегически эквивалентны U1. Все три функции представляют одну и ту же структуру предпочтения. Конечно, если задана функция V, то в операционных целях мы можем выбрать T так, чтобы с функцией ценности T(v) было легко производить математические .манипул яіции.
3.4. СТРУКТУРЫ ПРЕДПОЧТЕНИЙ И ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
Для удобства записи мы будем, обозначать 'критерии через X и У вместо Xi и X2. Напомним, что как X9 так и У считаются положительно ориентированными: при фиксированном значении одного критерия большие значения другого критерия считаются более предпочтительными.
3.4.1. Предельный коэффициент замещения. Предположим, что Вами рассматривается конкретная проблема выбора решения, X и Y обозначают используемые критерии, и Вас спрашивают: «Если У увеличен на А единиц, то насколько нужно уменьшить X, чтобы 'компенсировать данное увеличение У?». Ясно, что во многих случаях Ваш ответ будет зависеть от уровней значений х критерия X и у критерия У. Если в точке (хи У\) Вы согласны уступить ЯД единиц критерия X за А единиц У, то мы будем говорить, что предельный коэффициент замещения X на У в (Xu У\) равен Я. Другими словами, Я примерно равен тому «количеству» X, которое Вы согласны «заплатить» за единицу У, если Вы имеете значение Xi по критерию X и у і по У (см. рис. 3.9). Строго говоря, мы должны были бы перейти ik пределу при стремлении А к нулю. Ha-
*> Здесь и далее через log обозначаются натуральные логарифмы. (Прим. пер.)
92
помним, что мы всюду считаем, что находимся в «хорошем мире», где все функции имеют гладкие вторые производные.
Предельный коэффициент замещения в том виде, в каком мы его используем, равен взятому с обратным знаком тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия в точке (х\9 yi). Таким образом, если у нас есть кривые безразличия, то мы можем вычислить локальные коэффициенты замещения*^. В этом (параграфе мы изложим несколько методов для решения обратной °/ф^стШяетСт задачи: как ПРИ помощи пре
ЯА
дельных коэффициентов замещения построить кривые безразличия **>.
3.4.2. Общий случай. Теперь рассмотрим, каким образом предельные коэффициенты замещения могут зависеть от зна-
Рис. 3.9. Предельный коэффициент заме- чений X и У, т. е. от (х[9 yi).
щения X на У в точке (хи yi) равен X Простейший способ состоит в
том, чтобы: 1) зафиксировать Xi и рассматривать коэффициент замещения как функцию от yi и 2) зафиксировать yi и рассматривать коэффициент замещения как функцию от Xu
Например, !предположим, что коэффициент замещения в (хи Уі)у т. е. в точке а на рис. 3.10, равен Ха. Если мы зафиксируем л'ь то, как легко видеть, в данном случае коэффициенты замеще-
