Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Возможно, более целесообразным является модифицированный вариант этой процедуры, который состоит в том, чтобы назначать уровни притязаний для всех критериев кроме одного. Предположим, например, что лицо, принимающее решение, выбрало уровни притязаний х°2, x°zy х°п и отыскивает действие а^А, которое удовлетворяет наложенным ограничениям
Хі(а)^х°і для j = 2, 3, я (3.4) .
и максимизирует Х\(а).
Эта математическая задача имеет форму «стандартной оптимизационной задачи». Если допустимого решения не существует [т. е. никакое действие а^А не удовлетворяет (3.4)], то, очевидно, притязания х°2, х°п должны быть изменены. Но даже если допустимое решение существует, !максимальное значение Xx (а) может быть неожиданным для принимающего решение. Если это значение слишком мало или слишком велико (по сравнению с тем, которое он «ожидает»), он может изменить первоначальные уровни притязаний х°2, х°п и повторить процедуру.
Обозначим максимум Xx (а) при ограничениях а^А (3.4) через М\(х°2) х°п). Это обозначение подчеркивает, что максимум зависит от уровней притязаний х°2у х°п. Часто оказывается так, что метод решения стандартной оптимизационной задачи позволяет получить также скорости изменения Mx при ослаблении каждого из ограничений (в то время как все остальные ограничения остаются фиксированными). Говоря математическим языком, мы
получаем частные производные Мх(х°2у х°п) для /=2, я*.
84
Тогда принимающий решение имеет в своем распоряжении довольно много информации. Он выбирает х°2, х°п и затем в результате анализа получает
Al1 (4..., Xn) и JL-M1(^9..., хп) для / = 2,..., п
Теперь он должен ,решить, удовлетвориться ли тем, что есть, или же зондировать дальше. Если он решает продолжить свои поиски «удовлетворительного решения», то он может выбрать какой-ли'бо из индексов / (т. е. критерий Xj) и исследовать поведение Mi(x°2, Xj9 x°j^u -у х°п) как функции от Xj. Иными слова-
ми, он может сохранить все прежние ограничения (кроме касающихся Xj) и последовательно наїблющать, что /происходит с M1 при изменении Xj в заданном интервале. Несмотря на то, что значение Mi в точке x°j уже известно и известна также производная в этой точке, однако эта дополнительная информация может оказаться весьма полезной, тогда как стоимость дополнительного анализа, возможно, будет невелика. Рис. 3.4 показывает один из возможных результатов такого анализа.
Ганзено &>ш MMOW**
кривая поназд/0ает,нанизмттт Aff U зааисиности от уробня /-го ограничения
. ..... ... >,
af *j
Рис. 3.4. Исследование эффективной границы с помощью искусственных ограничений
Описанная выше процедура зондирования является специальной и не программируется до конца формализованно, поскольку в ней используются личные суждения лица, принимающего решение. Оно должно выбрать уровни притязаний, провести специальные исследования чувствительности результатов (т. е. Af1) к произвольно назначенным им ограничениям, назначить новые уровни притязаний и т. д.; в конце концов оно должно решить, получеіг ли «удовлетворительный» результат и можно ли остановиться. Эта зондирующая процедура заключает в себе постоянное проведение сравнительного анализа того, что достижимо, и того, что желательно. Она построена так, что выбор каждого шага осуществляет принимающий решение, который постоянно должен нефор-. мально сопоставлять то, что он хотел бы получить, с тем, что, по его мнению, он может достичь. Интерактивная "вычислительная:
85
программа должна быть составлена таким образом, чтобы помочь выполнить эту итеративную зондирующую процедуру.
В следующем пункте мы обсудим другой способ исследования эффективной границы в я-мерном пространстве.
3.2.4. Исследование эффективной границы: метод варьирования взвешенной суммы критериев *). В этом пункте мы формулируем вспомогательную математическую задачу, в результате решения которой находится некоторая точка эффективной границы. Изменяя вспомогательную задачу, принимающий решение может двигаться вдоль эффективной границы до тех пор, пока не (будет удовлетворен результатом.
Для каждого аеЛ, как и раньше, мы полагаем, что существует л-мерная оценка Х\(а)9 Xn(а). Поскольку мы заинтересованы в увеличении значений Xx(a)f Xn(а), такую оценку можно рассматривать как я-мерный «платеж» лицу, принимающему решение. Пусть
X= (Xu X2, Xn) (3.5а)
— упорядоченный набор п чисел, в котором
Хі>0 для всех i9 (3.56)
2Я,<=11. '(3.5в)
Сформулируем вспомогательную задачу: выбрать аеЛ так, чтобы (максимизировать
(3.6)
1=1
Мы можем также поставить задачу в эквивалентной форме: выбрать такое X^iR9 чтобы максимизировать
JgMi- (3.7).
Эта вспомогательная задача имеет вид стандартной задачи оптимизации. Пусть х°=(х°\9 х°п) — решение этой вспомогательной задачи. Мы теперь утверждаем, что точка х° должна лежать на зфіфективной границе. Предположим, что это не так; тогда существовал бы х', принадлежащий R9 который доминировал бы над х°. Но этого не может быть, так как тогда
і=і і=і
и поэтому точка х° не могла бы максимизировать 2 Ял.
