Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
3.2.2. Эффективная граница. Для любого (допустимого) действия а^А существует отвечающее ему последствие X в /z-мерном пространстве X, для которого Хі=Х,і (а) для каждого I. Пусть R — множество последствий в я-мерном пространстве, соответствующее действиям из Л. Множество R является множеством изменения вектора X, составляющие которого суть значения оценочных функций Хи ...» Xn, определенных на области А.
Рисунок 3.3 изображает различные возможные варианты Rf когда /г=2. У нас еще будет возможность обсудить эти качественно различные случаи *>.
Множество недоминируемых исходов в R будет называться эффективной границей R. Оно известно также под названием «оптимального по Парето множества». На рис. 3.3 эффективные границы жирно очерчены. Так, на рис. 3.3, а выбор х" может быть исключен, потому что существует последствие х' на эффективной границе, которое доминирует над х'. На рис. 3.3, в последствие х(3) эффективно (т. е. лежит на эффективной границе), хотя оно и находится, так сказать, в местной долине. На рис. 3.3, г множество R состоит из отдельных !последствий и эффективная граница, отмечена жирными точками. Случаи, изображенные на рис. 3.3, а и б, наиболее просты для аналитического изучения, поскольку
*) Мы не хотим излишне беспокоиться о математических деталях, но мы как-то должны исключить патологические случаи, ибо иначе можем столкнуться с неприятностями. Мы полагаем, что область R ограничена и содержит все свои граничные точки. Иными словами, мы хотим полностью исключить случай, когда существует последовательность точек х*1), х<2>, \^т\ ... в R такая, что каждая точка последовательности доминирует над всеми предшествующими точками, и в то же время последовательность сходится к некоторой точке X*, которая не принадлежит R.
0ОЗ/О00/Я0//0Я
яяя облае/яо лре&с/яяаляе/я
Л70</&// Я,//0/770/?о/Є #0//0//0//0/0/0//00%"
Рис. 3.2. Доминирование по двум критериям
82
множества последствий выпуклы и эффективные границы непрерывны. Отметим, однако, что понятие выпуклости требует использования кардинальных (а не ординальных) величин.
В некоторых случаях, когда эффективное множество может быть изображено графически, зачастую бывает сразу же ясно, какой X следует выбрать. Например, на рис. 3.3, б естественно выде-
«#2 1 /
(
(
в)
о о< о о • •
В)
Рис. 3.3. Эффективная граница для различных множеств последствий, характеризуемых с помощью двух критериев
ляется точка х*, поскольку при небольшом отклонении от х* мы должны пожертвовать слишком многим по одному критерию, чтобы выиграть немного по другому критерию. Делая это последнее замечание, мы неявно использовали кардинальные понятия, но при наличии естественных единиц для оценочных функций Х\ и X2 смысл такого количественного замещения может быть очевидным. Мы не говорим, что так обязательно будет, но так может быть.
При п>3 мы не можем графически изобразить R и его эффективную границу. В следующих двух пунктах мы изложим два способа, при помощи которых принимающий решение может «перемещаться» по эффективной границе для того, чтобы выделить точку, которая представляется ему достаточно хорошей. В последующих параграфах будут описаны процедуры, которые -могут быть использованы для формальной структуризации предпочтений относительно различных точек в пространстве оценок. А сейчас посмотрим, что можно сделать, не уточняя структуры предпочтений полностью.
3.2.3. Исследование эффективной границы: использование искусственных ограничений *>. Перед лицом, принимающим решение, стоит следующая задача. Оно должно выбрать действие а&4, такое, чтобы быть «удовлетворенным» полученным /г-мерным результатом Xi(а), Х2(а), Xn(а). Одна из процедур, которую оно может использовать, состоит в том, чтобы указать некоторые «уровни притязаний» х°и х°2, х°п для каждого из п критериев
*) К работам, в которых рассматриваются вопросы, обсуждаемые в этом пункте, относятся статьи Дайера (1972), Джоффриона, Дайера и Файнберга (1972), Корнблюта (1973), Руа и Шредера (1974).
83
и сформулировать строгую математическую задачу: установить существует ли действие аеЛ такое, что
Хі(а)^х°і для f=l, я? (3.3)
Можно ли удовлетворить эти взаимосвязанные притязания? Если нет, то лицо, принимающее решение, должно изменить свои притязания на некоторую точку х\, *'2, х'п. Если да, т. е. если существует действие а+, удовлетворяющее (3.3), то, хотя мы знаем, что Xi(CL+)^x0I для /—1, я, мы еще не знаем, является ли точка (Xi(a+), X2(а+), Xn(а+) эффективной. Она может быть доминируемой. Мы можем продолжить нашу процедуру, назначив другой уровень притязаний (х'и х'п), где
х'і=Хі(а+)+Аи ї=1, п,
и где Лг — приращение, выбранное интуитивно с учетом желаемого и реального. Таким образом, принимающий решение может итеративно исследовать границу или «почти границу» множества R. Основываясь на своих неформальных предпочтениях, он может выбирать последовательность уровней притязаний, и, соответственно, перемещаться по области R до тех пор, пока у него хватит терпения или пока он не сочтет, что в дальнейшем ожидаемая выгода от продолжения зондирующей процедуры не стоит затрачиваемого времени и расходов, связанных с выполнением анализа.
