Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*> С процедурами построения эффективной границы с помощью методов линейного программирования можно ознакомиться иго книге Зелени (1974). См. также статью Зайонтса и Валлениуса (1976).
86
Следовательно, при заданном наборе п чисел Xi удовлетворяющих (3.5), максимизация 2 XiX1 по х на R приводит к получению точки х°, которая лежит на эффективной границе.
Геометрия проведенного анализа показана .на рис. 3.5 для п=2 ври X= (0,8; 0,2). Точка х° является точкой максимума функции 0,8*1+ 0,2Jt2. Прямая вида 0,8*1 + 0,2*2=*, проходящая через х° (при соответствующим образом выбранном k), должна быть касательной к R в х°, так как эта прямая, очевидно, содержит х°, но никакая точка из R не может быть правее этой прямой (иначе х° не могла бы быть точкой максимума для 0,8*1 + 0,2*2).
Теперь принимающий решение может спросить самого себя,, хочет ли он остановиться на х°= (*°ь *°2) или же предпочитает исследовать эффективную границу дальше. Он знает, что, находясь в точке х°, можно двигаться вдоль границы R9 заменив А. единиц критерия Х\ примерно на 4А единиц критерия X2. Это замещение справедливо (точно!) лишь в предельном смысле, но для. практических целей ,мы можем думать об отношении 1 :к 4 как о (локальном) предельном коэффициенте замещения Х\ на X2 в граничной точке х°. Предположим, что принимающий решение,, подумав, пришел к выводу, что величина х°2 слишком мала по сравнению с *°i (т. е. он хотел бы уступить немного в \ 0,Ъяг-constant значении Хи чтобы получить
большее значение X2). Он \v \0,8xT^u}Z^k
может тогда найти решение 2 вспомогательной задачи отыскания максимума, например, функции 0,7*i + 0,3*2 при хєі?. Если х'= = (*'i, х'2) есть такая точка максимума, то и она будет — лежать на эффективной границе области /?, но к северо-западу от х°, как это видно Рис. 3.5. Исследование эффективной гранітна рис. 3.5. В точке х' (ло- ды с помощью линейной взвешенной суммы кальный) предельный коэффициент замещения будет равен А единицам критерия Хг за 7А/3 единиц критерия X2, и т. д.
Конечно, если п=2, то эффективная граница может ібьіть изображена графически. Настоящая сила этого метода в полной мере проявляется для больших пу когда о геометрии можно лишь думать, но ничего нельзя изобразить. Например, если выбор набора X=^(Xu Xn) приводит к соответствующей точке максимума х°= (*°ь х°п) и если *°г представляется недостаточно большим,, то можно решить вспомогательную задачу максимизации еще раз с увеличенным значением Xi. Это приведет к увеличению (точнее,, не приведет к уменьшению) оптимального уровня Xi в новой задаче максимизации. Принимающий решение должен выяснить, рассматривая уже полученные токи на эффективной транице, когда
¦ч $*тошмаксимума
87
он может удовлетвориться достигнутым. Манипулируя числами Xi9 он всегда может исследовать различные точки на этой границе. И здесь он должен неформально сопоставить то, что хотел бы получить, с тем, что, но его .мнению, можно достичь. Если эффективная граница выпукла и не имеет локальных откосов или долин, то процедура с манипулированием числами Xi позволяет выделить любую точку на эффективной, границе. В невыпуклом случае могут быть применены специальные методы для выделения имеющихся откосов. Но так как эта процедура не является основным направлением нашего исследования, мы не будем останавливаться на этих специальных вариантах.
Укажем только на возможное продолжение этого анализа. Так, мы могли бы захотеть формализовать некоторые варианты вышеуказанной итеративной процедуры и доказать сходимость к оптимуму. Конечно, для этого мы должны были бы предположить, что существует полная упорядоченность в я-мерном пространстве, на основании которой на каждом шаге итерации проводится выбор улучшающей корректировки. Поскольку этот подход прямо не обобщается на вероятностный случай (а он в конце концов является для нас главным), мы не будем разбирать многочисленные аналитические вопросы, возникающие при исследовании метода взвешенной суммы !критериев.
3.3. СТРУКТУРИЗАЦИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ И ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ
Теперь мы обсудим новую тему '— о формализации предпочтений лица, принимающего решение, относительно многомерных последствий. Мы вначале забудем, как это обычно делается, в экономике, о выделенном множестве достижимых точек в я-мерном пространстве последствий (множество R9 введенное в § 3.2), и рассмотрим предпочтения лица, принимающего решение, для последствий во всем этом пространстве, как принадлежащих, так я не принадлежащих к R. Лишь после того, как формализация этих предпочтений будет произведена, мы вернемся к задаче отыскания в R наиболее предпочтительной точки.
3.3.1. Лексикографическое упорядочение. В качестве первой иллюстрации рассмотрим подход, который, как нам представляется, распространен на практике шире, чем он того заслуживает, — лексикографическое упорядочение. Однако он прост и іможет быть легко осуществлен. Наше возражение состоит в том, что он слишком прямолинеен.
Лексикографическое упорядочение подобно упорядочению, установленному в словаре: а/У)>а" тогда и только тогда, когда
