Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
478
ного эквивалента c? для лотереи <с', 1/2, с"> с однопериодными
п
исходами с\ с'\ то мы должны иметь 2 Л*>1, откуда, как по-
казано в приложении 6Б, —1<С&<0. Это означает, что мы менее склонны к риску относительно потоков с равномерным потреблением, чем в однопериодном случае. Такой же вывод следует из получаемых расчетным путем значений функций несклонности к риску, порождаемых функцией полезности
и\с) =и(с, Cy с)=и(с) и однопериодной функции полезности и*(с).
Кроме того (см. двухпериодный случай), если коэффициент k отрицателен, и мы имеем возможность выбора между лотереями L1 и L2 для периодов і и /, где L1===<(c°, с°), 1/2, (с*, с*)> и L2==<(c°, с*), 1/2, (с*у с°)> и (ay Cj) суть потребления в периоды і и /, то L2 будет предпочтительнее. Интуитивно это кажется правильным, так как оба двухпериодных исхода в L2 содержат в себе период с высоким потреблением, который может частично компенсировать период с низким потреблением. Если лицу, принимающему решение, будет безразлично, что выбрать L1 или L2, то это будет означать, что функция полезности (9.16) аддитивна. Если же L1 будет предпочтительнее, чем L2, то имеет место муль-
п
тиіпликативная функция (9.17) при 2&г<1 и &>0. В этой ситуации мы в меньшей степени несклонны к риску в лотереях, исходами которых являются /г-периодные потоки равномерного потребления, чем в случае однопериодных лотерей.
9.3.3. Непрерывные потоки потребления *>. Большинство результатов § 9.2 и 9.3 можно распространить на непрерывные потоки. Если время непрерывно, естественно оперировать величинами, характеризующими «скорость» потребления; поэтому пусть c(t) обозначает «скорость» потребления в момент времени тогда c(t)A(t) есть собственно потребление на интервале времени (tt t+At). Пусть t изменяется в интервале (О, Г). Тогда можно обобщить соотношения (9.16) и (9Л7), разделив (О, T) на п равных интервалов длиной At=TJn (U=ITJn — конец периода і) и переходя к цределу при устремлении п ,к бесконечности. Результатов будет !«аддитивный» или «мультипликативный» функционал и{с(*)}- Легко видеть, что величина являясь значением функции и(-)у когда с(«) принимает свое базовое значение на (О, T)9 кроме отдельного интервала продолжительностью At9 должна иметь порядок Aty поэтому вместо ki мы используем k(ti)At. Мы также заменяем т(сі) на U(U, с(U))* Таким образом, соотношение (9.16) переходит в
п т
и{с(-)Н Hm 2 ki(U)u(Uy c(U))At=\k(t)u(U c(t))dt. (9.20)
*> Этот пункт можно опустить без нарушения связности изложения.
471
Аналогично соотношение (9.17) переходит в
\+ku{c(-)}= Hm Tl txip[kk(ti)u(tit C(U))At] =
7
= ехр [k$k(t)u(t, #(0)Л]- (9.21);
в
Аддитивная форма (9.20) широко использовалась экономистами, особенно в стационарном случае, когда величина k(t) имеет экспоненциальный характер и й(/, с) не зависит от t. Мультипликативная форма (9.21) применялась в работах Мейера (1970), Ричарда (1972) и Пая (1973).
9.4. ОСЛАБЛЕНИЕ ДОПУЩЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕЗАВИСИМОСТИ
В § 6.4 и 6.9 в контексте многомерной полезности мы рассмотрели структуры полезности, возникающие в результате ослабления допущений относительно независимости до такой степени, что они уже не обеспечивали существование чисто аддитивной или мультипликативной функций полезности. Например, мы видели, что допущение «Xi не завиоит по полезности от Xi для всех ї» приводило к полилинейной форме. Попробуем применить это обобщение во временном контексте.
К сожалению, в контексте предпочтений относительно временных потоков это обобщение оказывается неприемлемым по следующим причинам. Идея того, что Xt независимы по полезности, основана на выделении определенного периода времени в противоположность остальным периодам *>. Продолжительность такого отдельного периода для проблем принятия решений, носящих личный или общественный характер и в которых ход развития событий во времени играет важную роль, может быть от 1 мес. до 10 лет, однако, как правило, она порядка 1 года. Почему продолжительность отдельного периода имеет такое важное значение? По той причине, что экономические последствия, даже суровые, которые длятся только какие-то несколько дней, с точки зрения временной шкалы человека легко допустимы (например, прожить на имеющиеся пусть скудные средства неделю не столь уж тяжело, даже со всей семьей, но жить так год — достаточно мрачная перспектива). Но все-таки единица времени, т. е. продолжительность периода, не должна выбираться настолько длинной, чтобы детальная структура в отдельный период приобретала существенное значение.
Исходя из всех этих соображений, весьма приблизительно определяющих продолжительность подходящего периода, едва ли имеет смысл, вводя допущение о независимости, настаив-ать на строгом выполнении этого условия, т. е чтобы последствия для отдельного периода, измеряемые критерием Хи действительно на
*> До конца этой главы все временные потоки последствий, включая потеки потребления, будут обозначаться через
480
зависели по полезности от своего дополнения, если последствия двух следующих друг за другом периодов, измеряемые критериями Xt и Xt+u не являются независимыми по полезности от их дополнения. Далее, если помимо допущения о том, что каждый отдельный период не зависит по полезности от своего дополнения, мы допускаем, что любая последовательность Хи Xt+u Xt+т последовательных периодов также не зависит по полезности от своего дополнения, то тогда снова имеет место взаимная независимость, мы вновь возвращаемся к аддитивной или !мультипликативной функциям.
