Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
JMx7S n)dxn=f(n) для A=I, 2, ... (9.28)
2. Проблемы, в которых наш выбор лотереи может повлиять на временной горизонт, т. е. соотношение (9.28) перестает быть справедливым для всех возможных лотерей.
Для проблем класса 1 функция ті(-), входящая в выражение (9.26), не влияет на наше решение и поэтому нет необходимости в ее построении. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить выражение (9.26) в соотношение (9.27) и воспользоваться условием (9.28). В итоге получаем, что ожидаемая полезность й(А) лотереи Lh зависит от т)(-) только через аддитивную постоянную 2>пНп)г\(п), которая сама ,не зависит от А. Следовательно, функция г)(-) не оказывает никакого стратегического влияния в таких ситуациях: она существенна только для тех задач принятия решения, в которых временной горизонт 'может изменяться в зависимости от нашего решения.
Вытекающие отсюда следствия, облегчающие построение функций rj(-) и в(-), очевидны: для построения в(-) можно воспользоваться равноценными лотереями, в которых мы не можем повлиять на временной горизонт, но для построения г\(-) нам потребуется определить замещения между уровнями (равномерных, например) потоков и их протяженностью.. Существуют, конечно, самые разнообразные способы реализации этих идей, но «мы в качестве конкретного примера рассмотрим подход, который может
485
быть полезен при анализе ситуаций с равномерными потоками (x*t = x* и x°t=x°) и где при прочих равных условиях более дальний горизонт предпочитается более близкому.
Прежде всего для каждого п>п° рассмотрим две лотереи, L0 и L1 (см. рис. 9.1). В обеих лотереях с одной и той же вероятностью 1/2 реализуются горизонты протяженностью п—1 ил. В L0
/7o&de/wme такое vmofo/ I0^h
Рис. 9.1. Квантификация предпочтений для лотерей, исходы в которых относятся к различным временным горизонтам
мы получаем либо («лучшее») последствие, в котором х* представляет собой уровень равномерного потока, в то время как временной горизонт составляет п—1, либо («наихудшее») последствие, в котором х° есть уровень равномерного потока и временной горизонт равен п. В L1 мы получаем некоторое «промежуточное» последствие I, представляющее собой уровень равномерного потока при тех же значениях горизонта. Приступая к процессу квантификации, опрашиваемому лицу задается вопрос типа: «При каком значении g Вам безразличен выбор 'между L0 и L1?». Если мы получим ответы на этот вопрос для каждого п>п°, то тем самым мы определим некоторую совокупность равноценных последствий {|п, п°<п^'п*}, что позволит нам вычислить 6(-)> но с точностью до постоянного «множителя. Действительно, ожидаемые полезности, вычисляемые с помощью соотношения (9.26), для L0 и L1 будут следующими:
Й0=1/2[Т| (П—1) +0(/1-1)] +72TfCn)1
oi = V»[n(«—^'+etn—ljw?nln—l)]+!УЭ[л (л)+Є(л)и(Б»|л)]. Поскольку величина ?п была определена так, чтобы имело место
Uq=Uu ТО
в(п)=:в(п— І) '-"(Епіл-і) ^ дв<п<п*. (9.29)
и (SnI п)
Это полностью определяет 0(-) с точностью до постоянного множителя, равного, например, в(Аг°)=0о.
486
Перейдем теперь к построению T](O. Для построения т](-) нам достаточно найти наиболее простые возможные замещения между уровнем X равномерного потока и протяженностью п временного горизонта в условиях определенности. Рассмотрим два потока
х» = {xt = x°t ?=1, п} и X"-1= {xt = Z, f=«l, я—1}.
Мы ищем для каждого п>п° такой уровень ?, при котором нам безразличен выбор между этими двумя потоками. Это дает нам совокупность равноценных последствий {?п, п°<п^'п*}, таких, что
T1(Zz)=Ti(AZ— l)+0(/z— 1)и(Еп|л— 1), «°<n</i*. (9.30)
Поскольку 0(-) уже нам известно и определяется выражением {9.29), то мы можем теперь найти т)'(-) с помощью соотношения (9.30), но только с точностью до аддитивной постоянной, которую мы обозначим как г\(п°) =ц0. Чтобы определить Tj0 и во, воспользуемся условиями нормализации и(х*9 п*) = 1 и м(х°, л°)=0. На этом процесс построения завершается *>.
Наконец, нам остается рассмотреть следствия, вытекающие из допущений о независимости по полезности для случая меняющегося или неопределенного горизонта. В § 9.3, 9.4 мы рассматривали ситуации, когда при фиксированном горизонте решения о «будущем» xt не зависели от «прошлого» x*_i. Теперь естественным образом распространим эти условия на случай переменных горизонтов и потребуем, чтобы наши совместные предпочтения относительно потока xtn=(xt, Xt^u ...» Xn) и горизонта п были независимы от х*_1 для любого t. Кроме того, мы можем обобщить результаты § 9.3 и 9.4. Например, мультипликативня форма в теореме 9.2 (см. выражение (9.17)) может, как показал Ричард (1972), быть обобщена следующим образом:
Пусть {Хпи Щ не зависит по полезности от Xt-i для
и пусть Хпп-\ не зависит по полезности от Xn при фиксированной протяженности горизонта я, n°^'n^:ri*. Тогда
л—і
\+Ы{хп9 Az)=Ig1I(Az) П [\+kktui{ty(xt)][\+klnwn\xn)]
(9.31)
для п°^п^п*9 если 2^r11 kt + 1пф1.
Этому результату могут быть даны весьма интересные интерпретации. Отметим, во-первых, что функции Ut(-) не зависят от протяженности горизонта п, так что их можно построить на основе выяснения вопроса о замещениях в период t независимо от п.
