Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
46S
9.2.2. Дисконтирование денежных сумм с постоянным коэффициентом дисконтирования. Приведенная к настоящему моменту времени величина Х\ потока доходов (х\, х2, Xn), вычисленная при постоянном значении коэффициента дисконтирования /¦, равна
X1=J]-Vr = І] а" *и (9-2)
где а=(\+г)-х и г>0. Это, конечно, верно при условии, что денежная сумма X1 в период і равноценна сумме xj(l+r) в период J-I и (I+г)Xi в период j+1, и так для всех периодов. Пользуясь таким критерием, мы тем самым предполагаем, что (х\9 х2у хп\ предпочтительнее, чем (у\9 у2, Уп) тогда и только тогда, когда для соответствующих приведенных потоков, рассчитанных по формуле (9.2), верно неравенство Х\>у\. Кроме того эти потоки одинаковы по предпочтению, если х\=у\. Рассмотрим некоторые свойства, справедливые при использовании постоянного коэффициента дисконтирования.
1. Доминирование. Поток х=(хи х2, xn) доминирует над потоком у=(уи у2, Уп), если х^уі для всех і и Хі>Уі по крайней мере для одного і. Легко доказать, что если х доминирует над у, то х\>у\ при любом коэффициенте дисконтирования. Обратное неверно, так как нетрудно привести примеры, когда х\>У\ для всех г>0, но X не доминирует над у. Например, х=(1, 0) иу=(0, 1).
2. Последовательная парная независимость по предпочтению. Это свойство имеет место, если результат сравнения по предпочтению двух потоков X и у, которые различаются только в периоды і и /+І, не зависит от общих одинаковых значений потоков X и у в любой период /, отличный от і или 1+1 (для всех J=I, 2, ...). Такая концепция была детально рассмотрена в гл. 3, но проиллюстрируем ее смысл в теперешнем контексте.
Рассмотрим поток х=(—5, —3, 5, 6, 2, 4, 1). Допустим теперь, что X изменен путем добавления величины А, к сумме, получаемой в периоде 4, и сокращения суммы, получаемой в периоде 5, на одну единицу, что дает нам у= (—5, —3, 5, 6 +А, 1, 4, 1). Заметьте, что суммы в периоды 1, 2, 3, 6 и 7 остаются неизменными. Если A = O, то ясно, что х предпочтительнее, чем у (вследствие доминирования). Для некоторой большой величины А, вероятно, будет справедливо, что у^>х. Нас интересует коренной вопрос: какой должна быть величина А, чтобы х и у были одинаковы по предпочтению.
Этот вопрос связан с замещениями денежных сумм (доходов) в периоды 4 и 5. Действительно, рассматривая такие замещения, нужно ли иметь в виду действительные потоки в другие периоды, кроме 4 и 5? Должна ли величина Я, при которой х и у одинаковы по предпочтению, зависеть от размеров потоков в периоды 1, 2, 3, 6 и 7 соответственно (в данном случае от последовательности величин —5, —3, 5 ,4, 1)?
m
Если при выборе между X и у используется постоянный коэффициент дисконтирования, то ответ на последний вопрос будет «нет». И JCi, и у\—приведенные величины потоков X и у соответственно— будут иметь одинаковые вклады от периодов 1, 2, 3, 6 и 7. Критерий для сравнения потоков, основанный на постоянстве коэффициента дисконтирования, удовлетворяет допущению о последовательной парной независимости по предпочтению.
Заметим мимоходом, что когда выражение (9.2) применяется в качестве функции ценности для упорядочения потоков по их предпочтительности, то не только любая последовательная пара периодов (Ї, 1+1) не зависит по предпочтению от остальных периодов, но это верно и для любой пары периодов (i, /), где / не , обязательно равно і+1.
3. Постоянный коэффициент парного замещения. Критерий для выбора потоков, который удовлетворяет предположению о последовательной парной независимости по предпочтению, называется критерием, обладающим постоянным коэффициентом замещения, если для любого і кривые безразличия для величин Xi и JCf+1 являются параллельными прямыми линиями. При постоянном коэффициенте дисконтирования г, означающем, что одна единица в период і стоит 1+г единиц в период Ї+1, справедливо свойство постоянного парного замещения. Мы допускаем и такой случай, когда г зависит от і.
4. Парная инвариантность. Если кривые безразличия в пространстве (і, одинаковы для всех Kn9 то мы можем сказать, что предпочтения попарно инвариантны. Критерий, основанный на использовании постоянного коэффициента дисконтирования, также обладает этим свойством.
Мы перечислили свойства, необходимые для того, чтобы проиллюстрировать интересный результат.
Теорема 9.1. Единственным критерием оценки, который удовлетворяет свойствам 1, 2, 3 и 4, является величина приведенной ценности, вычисляемая с помощью постоянного коэффициента дисконтирования.
Вместо формального доказательства этого результата, покажем его справедливость на примере. Начнем с временного потока х, представленного в табл. 9.1. Допустим, что потоки в первых трех периодах (т. е. —5, —3, +8) зафиксированы, и поставим
Таблица 9.1. Дисконтирование с постоянным коэффициентом (г=0,08)
Временной период
Поток 1 2 3 4 5
X — 5 -3 8 5 3
х' — 5 — 3 8 7,78 0
х" — 5 -3 14,20 0 0
х"' — 5 9,14 0 0 0
X"" 3,46 0 0 0 0
467
вопрос: как следует изменить поток в период 4, чтобы компенсировать уменьшение в период 5 с 3 единиц до 0. Иными словами, нас интересует, как велико должно быть Ь, чтобы два потока, указанные ниже, были одинаково желательны:
