Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
х: —5, —3, 8, 5, 3,
X7: —б, —3, 8, &, 0
Если мы обратимся к принципу парной независимости по предпочтению, то увидим, что Ь не должно зависеть от —5, —3 и 8, Если мы применим принцип постоянства коэффициента замещения, то кривые безразличия, описывающие наши предпочтения для потодов в периоды 4 и 5, будут параллельными прямыми линиями. Чтобы рассмотреть конкретный пример, допустим, что соответствующий коэффициент дисконтирования г=0,08. Тогда 6 = 5+3/(11+0,08)=7,78. Таким образом, согласно данным табл. 9.1, мы имеем х~х'.
Теперь найдем такое значение C9 чтобы нижеприведенные потоки были одинаково желательными:
X7: —5, —3, 8, 7,78, 0
х": —5, —3, с, 0, 0
В соответствии с двумя принципами, изложенными выше, с может зависеть только от потоков в периоды 3 и 4. Если воспользоваться принципом парной инвариантности, то кривые безразличия для периодов 3 и 4 должны быть идентичны кривым для периодов 4 и 5. Отсюда ?=8+7,78/(1+0,08) = 14,2.
Применяя ту же аргументацию, что была использована выше, получаем x'^jx", x"~x"f, х"'~х"". В силу транзитивности отношения 'безразличия находим, что исходный поток х одинаков по предпочтению с вырожденным потоком, обладающим приведенной ценностью хи равной 3,46. Легко показать, что
1 +0,08 (1 +0,08)2 (1+0,08)5 (1+0,08)4'
Иными словами, 3,46 есть приведенная ценность потока х, вычисленная при постоянном коэффициенте дисконтирования г=0,08.
Коль скоро, рассматривая поток х', мы приняли для Ь значение 7,78, то согласно принципам парной независимости по предпочтению, постоянства коэффициента замещения и парной инвариантности мы должны далее согласиться со значениями 14, 20; 9, 14 и 3,46.
Теперь допустим, что мы должны осуществить выбор между потоками X и у. Мы знаем, что х одинаков по предпочтению є потоком (3,46; 0; 0; ... 0). Если приведенная ценность потока у равна 3,23 при коэффициенте дисконтирования, равном 8%, то у будет одинаков по предпочтительности с потоком (3,23; 0; 0; ...0)* Вместо того чтобы сравнивать х и у, мы можем теперь сравнить потоки (3,46; 0; 0; 0) и (3,23; 0; 0; 0).
46«
Согласно принципу доминирования первый поток должен быть предпочтительнее второго.
Этим мы заканчиваем показ того факта, что принципы доминирования, последовательной парной независимости по предпочтению, постоянства коэффициента замещения и парной инвариантности приводят к критерию приведенной (к настоящему моменту времени) величины потока (иначе говоря, приведенной ценности), вычисляемой с помощью постоянного коэффициента дисконтирования. Поскольку мы показали и обратное, то мы можем сказать, что эти принципы характеризуют критерий приведенной ценности при постоянном коэффициенте дисконтирования.
Выражение (9.2) можно обобщить несколькими способами:
1. Использовать переменный коэффициент дисконтирования,, например, в виде
S УіХі, (9.3)
где уі не обязательно имеет вид а*"1. Может оказаться удобньш представить уі в форме уі=а\а2... <хг, г=1, 2, ai = 1, и считать а* (при і>1) 'коэффициентом, иоторый дисконтирует денежный? поток из периода і в период і—¦I. Критерий (9.3) удовлетворяет свойствам доминирования, последовательной парной независимости по предпочтению и постоянства коэффициента замещения, но^ не парной инвариантности.
2. Использовать аддитивную функцию ценности вида
п
2Vi(Xi).
В этом случае используемый критерий характеризуется (Монотонностью и парной независимостью по предпочтению (для всех пар,, не только последовательных). При этом мы могли бы наложить ограничения на функции Vi9 чтобы обеспечить парную инвариантность. Например, как будет показано в следующем пункте, мы можем положить
Vt(Xi)=(IW(Xi)9 (9.4)
где у функции V* нет нижнего индекса.
9.2.3. Допущения о стационарности и упорядочение по предпочтению для бесконечных потоков. Одной из первых работ в этой области явилась работа Тьеллинга Купманса (1972), в которой он исследовал допущения, приводящие к выражению (9.4).
Профессор Купманс структуризовал предпочтения для временных потоков с бесконечными горизонтами. Рассматриваемые потоки представлялись в виде х=і(л;і, X29Xt9...,), где под Xt понимается, например, потребление в период времени /. Потребление Xf может являться векторной величиной, но множество его возможных значений должно представлять собой связное подмножество конечно-мерного евклидова пространства. Купманс постулировал существование полного упорядочения по предпочтению (>>) про-
до
странства таких бесконечных потоков. Выражение х)>у надо !понимать так: ноток х предпочтительнее потока у или же эти потоки одинаковы по предпочтению. Для обеспечения математической строгости он требовал также, чтобы это упорядочение по предпочтению было непрерывным в следующем смысле: для любых х)>у .всякий z, достаточно близкий к х (т. е. такой, что ни одна компонента zt не отличается от соответствующей 'компоненты xt более чем на малую величину б>0), будет предпочтительнее, чем у, а всякий z, достаточно близкий к у, будет менее предпочтителен, чем х. Затем он исключил неинтересные случаи, 'когда все потоки одинаковы по предпочтению и когда предпочтения между двумя любыми потоками определяются только их асимптотическим поведением на большом удалении во времени. Например, он исходил из того, что потребление в течение ближайших 100 лет или примерно в течение этого срока должно влиять на упорядочение по предпочтению, что вполне резонно. Однако некоторые из его допущений представляют собой довольно серьезные ограничения.
