Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
lyt-hiei-t)
или его разновидности). Более подробно об этом говорится в § 9.6.
9.3. НАЛИЧИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ: ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ ВРЕМЕННЫХ ПОТОКОВ
Большинство проблем, в которых важны временные соображения, связаны с неопределенностями, поскольку трудно точно предсказывать будущее. Поэтому нам желательно получить функцию полезности и для временного потока (хи х2, Xn). Тогда математическое ожидание величины и может использоваться при принятии решений, связанных с неопределенностью. В том «случае, когда выполняются необходимые условия для применения результатов, описанных в гл. 5 и 6, естественно, мы можем к ним прибегнуть при структуризации и. Эти результаты, как правило, позволят строить многопериодные функции полезности с помощью функций
474
полезности для одного периода. Однако при этом на размерность последствий для одного периода никаких ограничений не накладывается. Они могут быть многомерными.
Основной нашей целью будет построение функций полезности для временных потоков потребления c='(С\9 C29 Cn), где Ci — величина потребления в период L Разумеется, с точки зрения интерпретаций, может быть, естественнее рассматривать величину Cn как «наследство», а не потребление, т. е. как сумму, оставляемую «наследникам». Для удобства шкалирования будем считать, что зафиксированы базовый поток потребления с°= (с°и с°2,
с°п) = (с°, с°9 с°) и «верхняя граница» с*= (сі*, с2*,
...,Cn*) = (С*9 С*, С*).
Сначала мы обсудим двухпериодный случай, чтобы пояснить основные идеи, а затем обобщим его для п периодов и непрерывных потоков потребления*).
9.3.1. Двухпериодный случай. Пусть Ci и C2 суть используемые критерии потребления в периоды 1 и 2 соответственно. Тогда произвольный поток потребления будет представляться в виде c= = (с\, с2). Прежде всего, рассмотрим возможные следствия взаимной независимости по полезности. Из теоремы 5.3 вытекает, что
Ii[Cu C2)=kiui(Ci) +k2U2(c2)+kkik2Ui (Ci)U2(C2), (9.5)
где
и(с°и с°2)=0, Ui(C0i)=O9 и2(с°2)=0; (9.6)
u(ci*9 с2*) = 1 Ui(C1*) = 1, и2(с2*) = 1. (9.7)
Шкалирующие коэффициенты ki и k2 здесь положительны и
k = (\—ki—H2)Ik1^ (9.8)
Теперь добавим допущение о стационарности, т. е. предположим стабильность предпочтений во времени. Выражаясь формальным языком, это означает, что если с одинаков по предпочтению с лотереей <с', р, с">, дающей р шансов за сг и 1—р шансов за с", где все последствия относятся к периоду 1, то с должен быть равноценен участию в такой же лотерее в период 2. Отсюда с учетом шкалирующих условий (9.6) и (9.7), следует, что функция полезности для каждого из периодов одинакова. Обозначим эту функцию полезности через и*(с), так что
и*(с)=их(с) =и2(с). ' (9.9)
Объединяя это с предыдущим результатом (9.5), получаем
и(си с2) =kxu*(Ci) +k2u*(с2) +kkik2u*(сі)и*(c2). (9.10)
Необходимо рассмотреть три случая: коэффициент k равен нулю, положителен или отрицателен. Если k=0, то выражение (9.10) сводится к аддитивной функции
u(ci, c2)=kiit*(cx)+k2u*(c2), (9.11)
*> Это обсуждение основывается на работе Мейера (1970).
475
где, кроме того, k2<ku если ноток потребления (с', с") предпочтительнее потока (с", с') всякий раз, когда с'>с", т. е. большие потребления предпочтительнее иметь в более ранние моменты времени. В таком случяе выражение (9.11) представляет собой эффективное дисконтирование полезностей.
Теперь предположим, что коэффициент k не равен нулю. Умножим обе стороны равенства (9.10) на k и прибавим к ним по 1, в результате получаем
\+ku(cu C2) = [I+k^u*(Ci)I[I+kk2u*{C2)]. [(9.12I
Если коэффициент k положителен, то каждая ,из функций l+ku, \+kk\U* и 1+ kk2u* является функцией полезности в соответствующей области, поэтому мы можем рассматривать выражение {9.12) в качестве мультипликативной функции полезности
и(си C2) ~щ*(сі)и2*(с2), (9.13)
а если k отрицателен, то выражение (9.10) сводится к
—[и(*ь с2)]~ [ui*(Ci)][U2*(C2)], (9.14)
где ui*(ci) = \+kkiu*(ci) и u2*(c2) = l + kk2u*(c2) как в выражении (9.13), так и в выражении (9.14). Выражение (9.14) мы будем называть негативной формой мультипликативной функции полезности, поскольку каждая из функций —и, щ* и и2* является функцией «неполезности» (иначе говоря, «ущерба»).
Остановимся теперь на вытекающих из выражений ¦(9.11), (9.13) и (9.14) выводах относительно психологического отношения к различным потокам потребления. Рассмотрим предпочтения для потоков потребления (с, с), где потребление в каждый из периодов идентично (так называемые постоянные или равномерные потоки). Допустим, например, что уровень потребления са таков, что поток (са, са) эквивалентен лотерее <(с', с')>, 1/2, <(с", с")>. Сравним этот уровень са с однопзриодным случаем и зададимся вопросом: какова та величина с&, которая эквивалентна участию в лотерее <с', 1/2, с">, где с' и с" — уровни потребления в один и тот же период? Будет ли са равным больше его ,или меньше? Если са=с$, тогда должна иметь (место аддитивная функция (9.11), если выполняются остальные условия, обеспечивающие существование аддитивной или мультипликативной функций. Если са>с$, то имеет место положительная мультипликативная функция полезности (9.13). Если са<с&, то подходит ,негативная мультипликативная функция (9.14).
