Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Во многих случаях представляется естественным считать, что са должно быть меньше Для пояснения этого предположим, что C^=IlO ООО дол. и с"=50 ООО дол. Допустим, что для любого отдельно взятого периода (например, в один год) детерминированным эквивалентом для лотереи < 50 ООО дол., 1/2, 10000 дол.> является величина в 25 000 дол. Мы не очень боимся риска, потому что, если была бы выбрана эта лотерея и результатом было бы 10 000, то это был бы результат для одного года, а в другой год
47S
результат еще будет разыгрываться. Однако при отыскании детерминированного эквивалента для двухпериодной лотереи <(50 000 дол., 50 000 дол.), 1/2, (10000 дол., 10 000 дол.)>, мы возможно выберем (22 000 дол., 22 000 дол.), потому что перспектива низкого уровня потребления по 10 000 дол. в оба года уже мало привлекательна. Такое отношение с нашей стороны потребует в предыдущем случае принять са<$.
Определим функцию полезности и° для равномерных потоков потребления как
и°{с)=и(с, с), (9.15)
где согласно соотношениям (9.6) и (9.7) и°(с*) = 1 и и°(с°)=0. Если мы не склонны к риску в отдельно взятые периоды, т. е.
^-(с'+с")/2 для всех с' и с", то очевидно, что мы будем еще менее склонны к риску, рассматривая двухпериодные потоки равномерного потребления, если ca<Zc&. В этом -случае ,мера несклонности к риску*) г (с) для одного периода всегда меньше меры несклонности к риску г°(с) для двухпериодного потока с равномерным потреблением. Шкалирующий коэффициент k является индикатором нашего отношения к риску в многопер йодных ситуациях. Чем меньше k, тем больше будет наша несклонность к риску для потоков с равномерным потреблением (см. работу Ричарда (1975)).
Рассмотрим еще одну двухпериодную ситуацию: пусть лицо, принимающее решение, должно сделать выбор между лотереей I1E3 < (с*, с9), 1/2, (с°, с*)> и лотереей 12=<(с*, с*), 1/2, {с°, с°)>. В каждой лотерее равные шансы получить наилучшие и наихудшие последствия в каждый из периодов. Однако в Ii мы получаем наихудшее последствие в один период и наилучшее в другой, независимо от исхода розыгрыша лотереи, тогда ікак в L2 оба периода окажутся либо максимально хороши, либо предельно плохи. Многие считают, что предпочтительнее Li, а не L2, что (см. § 5.4) указывает на &<0, и, «следовательно, для этих людей характерна большая несклонность к риску (т._е. они менее охотно идут на риск) в случае потоков с равномерным потреблением, чем в однопериодных ситуациях.
9.3.2. Многопериодный случай. Теперь обобщим предыдущие идеи и результаты для потоков потребления с=(сь ...» Cn), распространяющихся на п периодов; при этом потребление в я-й период, т. е. сПу будет трактоваться нами как своеобразное «остающееся наследство». Обозначим вектор будущего потребления через
Ctn= (Cmt C7n+U •> Cn), a BCKTOp ПОТрЄблЄНИЯ b ИрОШЛОМ ЧЄрЄЗ
cm=(cu с2, Cm), m=l, 2, я. Допустим, что поведение лица, принимающего решение, характеризуется следующими моментами: 1) решения о будущем потреблении (принимаемые в каждый
*) Напомним (см. гл. 4), что мера несклонности к риску г(х) при использовании функции полезности и (х) определяется как —и"(х)/и'(х), где и! и и" суть первая и вторая производные от и(х) по х.
477
отдельный период) не зависят от потока потребления, имевшего место ранее,' 2) принимая решения,-оно заботится лишь о потоке потребления, который будет иметь место только при его «жизни»,
т. е. ограничивается рассмотрением потока потребления cn-i и не обращает внимания на «наследство», которое останется после него. Тогда мы имеем следующую теорему.
Теорема 9.2. Если Ст не зависит по полезности от Сш-\ для
всех т=29 3, п и если Сп-\ не зависит по полезности от Cn, то функция и(с) = (с\, с2, Cn) должна иметь либо вид
п п
и(с) = Б kiUi(ci), если 2ki=l, (9.16)
(mm I 1=1
либо вид
l+ku(c) = Пу+kkiUiia)], если 1кіФ\, (9.17)
где
1. и (с) нормализована условиями u(c°)=Q и м(с*) = 1.
2. щ(а)м /=1, 2, п, — однопериодная функция полезности для Ci9 нормализованная условиями Ui(c°i)=0 и щ{сі*) = \.
3. ki=u(c°u c°i-i, Cf, c°i+[9 c°n)9 i=h 2, n.
n
4. k есть ненулевое решение уравнения l+k= П (l+kki) при
k> — 1.
Ранее было показано (см. теорему 6.2), что эти допущения влекут за собой взаимную независимость по полезности критериев C1, C29 Cn. Отсюда на основании теоремы 6.1 следует, что и может быть выражена в виде аддитивной или мультипликативной функций.
Для двухпериодного случая было показано, что идентичность предпочтений относительно одних и тех же лотерей в периоды і и / позволяет определить общую функцию полезности
м*(с) = м*(с), i=l9 2, п.
При этом допущении аддитивная и мультипликативная функции (9.16) и (9.17) преобретают вид
M(c)= Яки* (Ci)9 (9.18)
i—l
l+ku(c) = П [l + kkiU*(Ci)*\ (9.19) .
*=i
соответственно.
Постоянная k играет одинаковую роль как в выражении (9.19), так и в выражении (9.12). Рассмотрим теперь предпочтения для равномерных потоков потребления вида (с, c9 с). Тогда, если, «равномерный» детерминированный эквивалент са= (са9 са9 са) для лотереи <Сс', 1/2, с"> таков, что са меньше детерминирован-
