Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Поскольку фактор Yi условно не зависит по полезности от Y2 при фиксированном У3, из выражения
329
(6.113) следует, что для произвольного значения Y2 (выберем его равным у+2) справедливо равенство
и(Уи Уъ Уг)=ах(у2, yt)+d2(y2, y*)u(yu у+ъ Уз). (6.115)
А поскольку Yx условно не зависит по полезности от У3 при заданном у+2, то из выражения (6.109) получаем
"(Уи У+ъ Уз) = сі(у3) + с2(уз)и(уи у+2, У+з). (6.116)
Подставляя (6.116) в (6.115), находим
и(Уи Уъ Уз)=аі(у2, уъ)+а2 (у2, Уь)[сі(уг) +
+ с2(уг)и(уи у+2, У+з)]Ч\(УъУз) +
+'Ы</2, у*)и(уи у+2, У+з), (6.117)
где fx(y2, ys)=di(y2, y3)+d2(y2, Уз)с{(у3),
/2 (і/2, yz)=d2 (t/2, Уз)с2(уг).
Из выражения (6.117) следует, что Yi не зависит по полезности от {Y2, Уз}.
Особо важный класс представляют задачи с иерархической структурой факторов. Далее излагаются некоторые результаты, полезные для решения этих задач.
Теорема 6.18. Если множество факторов {Yu Y2} не зависит по полезности от Уз и если Yi условно не зависит по предпочтению от Y2 при фиксированном у'г, то Yx не зависит по предпочтению от {У2, У3}.
Доказательство. Из условия независимости по полезности следует
и(уи У2, Уз)=и(уз)+с(уз)и(ух, у2, у°г), (6.118)
а условная независимость по предпочтению означает, что 1>(у'ь У'ъ у'з)>и{у"Ху yf2, у'з)]*=$[и>ІУ'и Уъ У'з)>и{у"и у2, у'3)].
(6.119)
Вычисляя правую часть выражения (6.119) с помощью выражения (6.118), получаем
и(!Ґи Уъ У°з) >и{у"и у2, у%). (6.120)
Подставляя (6.120) в (6.118), находим
и(Уь Уъ Уз)>и(у"и Уъ Уз),У Уъ Уз- (6.121)
Это выражение и означает, что фактор Yx не зависит по предпочтению от {У2, У3}.
Аналогичное утверждение можно сформулировать для независимости по полезности.
Теорема 6.19. Если множество факторов {YXy Y2} не зависит по полезности от У3, a Yx условно не зависит по полезности от Y2, при фиксированном у'ъ, то Yx не зависит по полезности от {Уъ Уз}.
330
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
и(Уи У2, Уъ) Ч(Уъ) +?(№)'«(!/!, Уъ у"ъ), (6.122)
где значение у"ъ выбрано произвольно, и
и(Уи У2, y'z)=c(y2)+d(y2)u(yu yfz). (6.123)
Положив у"г = у'ъ и подставив выражение (6.123) в правую часть выражения (6.122), перегруппируем члены и в результате получим
"(Уь Уъ yz)=f(yz)+g(yz)c(y2)+g(yz)d{y2)u(yu у'3).
(6.124)
Вычислим значения выражения (6.124) в точке (уь у°2, у°з) и решим полученное уравнение относительно и(уи у'з). Подстановка найденного решения этого уравнения снова в выражении (6.124) завершает доказательство утверждаемого результата.
Два доказанных выше утверждения позволяют нам сконцентрировать внимание на предпочтениях лица, принимающего решение, и независимых по полезности цепях и их элементах, не задумываясь о значениях других факторов, уже установленных на некотором удобном уровне. Возвращаясь к примеру 6.5 из § 6.10, можно заметить, что для получения выражения (6.97) условие независимости по полезности фактора Xs от Xs оказывается избыточным. Из теоремы 6.19 следует необходимость лишь_услов-ной независимости по полезности Х$ от X6 при значении X56, заданном на каком-либо удобном уровне #56- Последнее условие проверить значительно легче, чем первое.
Относительно аддитивной независимости сформулируем следующую теорему.
Теорема 6.20. Если, во-первых, Yx и Y2 условно аддитивно не-зависимы при фиксированном Y3, во-вторых, Yx и Y3 условно аддитивно независимы при фиксированном у°2 и, в-третьих, Y2 и У3 условно аддитивно независимы при фиксированном у°х, то YXy Y2 и Y3 аддитивно независимы.
Доказательство. Из второй и третьей предпосылок следует соответственно, что
и(уи У\ Уъ) =и(уи У°ъ У°ъ) +и(у°х, у°2, уъ); (6.125)
и(у°и Уъ Уъ)=и(у°х, у2, у%) +и(у°х, у°2, у3), (6.126)
где
и{у°и У°ъ У°ъ) =0.
Таким образом, подставляя выражение (6.125) и (6.126) в выражение (6.114), которое следует из первой предпосылки, получаем
«(Уь Уъ Уъ)=и(ух, у°2, у°ъ)+и(у°х, у2, у°ъ)+и(у°и У°2, Уз).
(6.127)
33!
Соотношение (6.127) означает аддитивность функции полезности и(Уи У2, Уг), откуда непосредственно вытекает наличие аддитивной независимости факторов.
6.11.5. Иллюстративный пример иерархической структуры. Для иллюстрации некоторых рассмотренных выше положений приведем в качестве примера упрощенный вариант типичной задачи управления, с которой сталкиваются различные правительственные организации. Для конкретности предположим, что администрация штата рассматривает законопроект об обязательном использовании ремней безопасности всеми участниками автотранспортного движения на высокоскоростных дорогах штата. Главная конечная цель такой программы — «повышение благополучия» автомобилистов штата. Подцелями являются минимизация физических травм водителей и снижение денежных затрат. Таким образом, можно определить главный фактор X как «благополучие»» фактор Yi как «физические травмы», Y2 — «денежные затраты». Более того, предположим, что фактор Yi разбит на два фактора Xi и X2, характеризующих соответственно летальные исходы и серьезные травмы, а фактор Y2 разбит на факторы X3 и X4, отражающие соответственно денежные затраты водителей и денежные затраты штата. В табл. 6.4 перечислены меры эффективности, ко-
