Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Каждое из предложенных определений может быть обобщено. Фактор Y\ назовем условно независимым по .предпочтению от Y2 при заданном Уз, если порядок предпочтительности последствий, различающихся лишь значениями факторов из Уь не зависит от значений У2, когда значения Уз зафиксированы на любом произвольном уровне. Аналогично, фактор Yi условно не зависит по полезности от Уг при заданном Уз, если порядок предпочтительности лотерей, все исходы которых различаются лишь значениями факторов из Уь не зависит от значений Y2, когда значения Уз за-зафиксированы на любом произвольном уровне. Эти допущения об условной независимости могут быть записаны соответственно !следующим образом: для любых у\, у'\, уг2
[(Уь Уг2> Уг)>(У"и У'2, Уз)] ^ [(Уь #2, Уз)>
>(У'ь#2, Уз)], Vy2, уг> (6.110)
325
и для любых лотерей у'и у"\ при любом у'2
Wu yf2> Уг)>(у"и Уг2, Уг)] Ч> Ш'ь №, Уъ)>
>(УиУ2,Уг)]У У2, Уз. (6.111)
Как и ранее, при заданной функции !полезности и выражение (6.10) справедливо тогда и только тогда, когда
|>(Уь у* Уъ)**и(у"и У'2, Уг)] Ч> ["(у'и У2> Уз)>
>и(у"иУьУг)\У У2,Уг, (6.112) а соотношение (6.111), когда
и(Уи У2, Уъ)=!(У2, ys)+g(y2, Уг)и(уи */'2, Уз),
В(У2,Уг)>09 (6.1132
где у'2 — произвольное, но фиксированное значение фактора Y2.
Понятно, что из соотношения (6.112) следует выражение (6.108), а из (6.113)—выражение (6.109), поэтому последние допущения об условной предпочтительности являются более сильными, чем первые. Заметим, что для справедливости условия (6.113) относительные !предпочтения на Y1 при заданном у\ не обязательно должны совпадать с относительными предпочтениями на Y1 при заданном у"ъ. Если фактор Y1 условно не зависит по полезности от Y2 при фиксированном значении Yz и если относительные предпочтения для рассматриваемых значений Y1 сохраняются неизменными при всех значениях Y3, тогда фактически фактор Y1 не зависит по полезности от {Y2, Yz}. Отсюда для любых у'2 и у\
и(Уи У2, yz)=di (у2> yz)+d2(y2i Уз)и(уи у\> у'ъ).
Попробуем с помощью рис. 6.5 проиллюстрировать связь между допущениями о независимости по полезности и условной независимости по полезности. Выражение (6.109), которое характеризует условную независимость по полезности фактора Y1 от Y2 при заданном у+з, означает, что относительные предпочтения последствий, расположенных вдоль каждой непрерывной линии, стратегически эквивалентны. Это означает, что условные функции полезности вдоль каждой из этих непрерывных линий одинаковы и связаны друг с другом положительными линейными преобразованиями. Однако из этого условия не следует, что относительные предпочтения последствий, расположенных вдоль выделенных пунктирных линий, должны быть теми же самыми. Тем не менее такое утверждение может быть и справедливым. Выражение
Рис. 6.5. Связь между условной независимостью по полезности и независимостью по полезности
326
(6.113), которое характеризует условную независимость по полезности фактора Yi от Y2 при фиксированном Y3, означает, например, что относительные предпочтения для последствий, расположенных, соответственно, вдоль выделенных непрерывных, пунктирных и штрих-пунктирных линий, должны быть одинаковыми. Но это условие не тробует, чтобы относительные предпочтения последствий, расположенных вдоль непрерывных линий, были бы такими же, как вдоль пунктирных или штрих-пунктирных линий. Если оказывается, что относительные предпочтения последствий, располагающихся вдоль каждой из выделенных линий: непрерывных, пунктирных и штрих-пунктирных — совпадают друг с другом тогда, весьма вероятно, фактор Yi не зависит по полезности от {Y2, Y3}. Мы говорим «весьма вероятно», поскольку для того, чтобы Yi не зависел по полезности от {Y2, Y3}, данное условие должно выполняться не только для плоскостей, на которых уъ принимает значения #+3, у'ъ или у"з, но и для всех других плоскостей, не указанных на рисунке.
Наконец, дадим определение условной аддитивной независимости. Факторы Yi и Y2 являются условно аддитивно независимы-мыми при заданном значении у'3, если предпочтения для лотерей на Yj и Y2 при значении Y3, установленном на уровне у'ъ, зависят лишь от маргинальных условных распределений вероятностей и не зависят от их совместного условного распределения вероятностей. И, аналогично предыдущим случаям, положим по определению, что факторы Yi и Y2 являются условно аддитивно независимыми при фиксированном Y3, если предпочтения между лотереями на Yi и Y2 при любом фиксированном значении Y% зависят только от маргинальных условных распределений вероятностей и не зависят от их совместного условного распределения вероятности.
6.11.2. Упрощение многомерных функций полезности. Приступим к исследованию (целесообразности использования допущений об условной предпочтительности. Для большинства теорем, использующих независимость по предпочтению, независимость по полезности или аддитивную независимость, можно получить аналогичные результаты при соответствующих допущениях об условной независимости. Приведем некоторые из них без доказательств, поскольку эти доказательства совпадают с приведенными ранее. Например, теореме 5.2 соответствует следующее утверждение.
