Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
318
Проиллюстрируем целесообразность исследования дополнительных ограничений, накладываемых различными допущениями на функцию полезности. Как будет показано далее, дополнительные допущения уменьшают количество эмпирической информации, необходимой для определения функции и. Соответствующие результаты будут представлены в § 6.11 при обсуждении предпочтений, когда факторы обладают иерархической структурой.
На протяжении этого пункта будет предполагаться, что X= E=(X1, X2, Xn) и Xi^UI, 1=1, 2, я. Следовательно, согласно теореме 6.3 функция полезности и(х\, х2, Xn) может 'быть полностью построена с помощью п одномерных функций полезности щ(Хі) и 2п—2 шкалирующих констант. С 'более общих позиций, можно было бы рассмотреть влияние дополнительных допущений, используемых вместе с допущениями теоремы 6.10. Однако, поскольку идеи такого исследования аналогичны введению дополнительных допущений к теореме 6,3, а обозначения в теореме 6.3 менее громоздки, именно этот случай и был выбран для иллюстрации.
Фактор Y не зависит по полезности от У. Предположим, что У= {Хи X2, X7n}. Бели У не зависит по полезности от У, каждый из факторов У, Xm+U Хт+2, Xn является независимым по полезности. Таким образом, в этом случае применима теорема 6.3, и общая функция полезности может быть построена при помощи (п—т+1) одномерных функций полезности Uy(у), Um+\(xm+i),
Un(Xn) и 2n-m+1*—2 шкалирующих констант. Но для построения функции Uy(у), в свою очередь, может быть повторно использована теорема 6.3, поскольку каждый из факторов Хи X29 Хт является независимым по полезности. Таким образом, функцию uY(y) можно определить, задав т функций полезности щ(х\)у и2(х2),
Um(Xm) и 2™—2 шкалирующих констант. Объединяя эти результаты, получаем, что интересующая нас исходная функция полезности и(х\, х2, хп) определяется теперь п одномерными функциями полезности и (2n~m+1+2m—4) шкалирующими константами.
Польза от введения дополнительного допущения вполне ясна: такое дополнение позволяет определить функцию и при помощи меньшего количества шкалирующих констант. Это действительно так, поскольку допущение о том, что УєІЛ накладывает ряд ограничений на согласованность значений шкалирующих констант в полилинейной функции полезности.
Факторы YuY взаимонезависимы по полезности. Используя те_же обозначения, что и раньше, предположим, что факторы У и У взаимонезависимы по полезности. Из теоремы 5.2 следует, что функция полезности может быть определена с помощью функций Uy (у) и иу(у) и двух шкалирующих констант. Тогда из теоремы 6.3 следует, что функция Uy (у) определяется с помощью m одномерных функций полезности и\(х\), Um(Xm) и 2Ш—2 шкалирую-ших констант. Аналогично, функция uY (у) может быть выражена через Um+\(xm+i), Un(Xn) и 2n_m—2 шкалирующих констант.
319
Следовательно, при справедливости дополнительного допущения о взаимной независимости факторов по полезности функция полезности и(х\, х2, Xn) полностью задается функциями щ(хі), U2(X2), Un(Xn) и 2m+2n~m—2 шкалирующими константами.
При мультипликативной и полилинейной функциях !полезности, так же, как и в рассмотренных выше двух случаях, функция полезности и определяется с помощью п функций полезности Uu и2, Un и некоторого количества шкалирующих констант. Использование дополнительных допущений, как было показано выше, позволяет определить функцию полезности и при помощи меньшего количества шкалирующих констант, чем в случае полилинейной функции полезности. В табл. 6.3 сравниваются количества шкалирующих констант, .необходимых для конкретизации численных значений функции полезности, при наличии и в отсутствие дополнительных допущений, для некоторых характерных значений п и т. Таким образом, таблица характеризует гполнительное упрощение процесса нахождения раеематривае функции полезности и. Во всех случаях предполагается, что . =UI, i=l, 2, п.
Таблица 6.3. Количество шкалирующих констант, необходимых для построения n-мерных функций полезности при условии,
ЧТО XfG=UI, 2, п
При отсутствии дополнительных допущений (Полилинейная функция полезности) B предположении, что Д b предположении, что Y^{Xt.....уГт}€17/ и YSUI В предположении, что Xu Х2, ...» X1^ взаимонеза-висимы по полезности (Мультипликативная функция полезности)
т=2 т=3 т=5 т=2 т=3 т=5
п 2п —2 2п—4__28 2п—2__2 21—3+6 ^n-5+зо п
3 4 5 6 7 8 9 10 6 14 30 62 126 254 510 1022 4 8 16 32 64 128 256 512 12 20 36 68 132 260 32 36 44 60 92 4 6 10 18 34 66 130 258 8 10 14 22 38 70 134 32 34 38 46 62 3 4 5 6 7 8 9 10
Другие наборы допущений. Рассматривавшиеся до сих пор дополнительные допущения являются как раз теми, которые необходимы в качестве «строительных -блоков» для формирования более сложных наборов допущений о независимости но полезности. Приведем еще одну иллюстрацию. Пусть фактор Y определен так же, как и ранее. Определим Z как набор {Хг, Хг+и Xn}. Предположим теперь, что У и Z независимы по полезности от дополняющих их множеств факторов. В данной ситуации нам необходимо рассмотреть три отдельных случая: r^m, г=т+1 и г>т+\. Оста-
