Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
334
Таблица 6.5. Допущения о независимости факторов в многомерной теории полезности; предполагается, что последствия представлены в виде Xез (xi, х2, Xn) в (Уу г)
Допущение Независимость по предпочтению (PI) Независимость по полезности (UI) Аддитивная независимость (Al)
Объекты определения Предпочтения относительно последствий (у, г) при фиксированном значении г Предпочтения относительно лотерей (у, z) при фиксированном значении z Предпочтения относительно лотерей (у, Z) при изменяющихся значениях как у, так и z
Определение УеРІ от Zf если предпочтения относительно последствий (у, zf) при фиксированном значении z' не зависят от самого значения z' УєШ от Z, если предпочтения относительно лотерей (//, z1) при фиксированном значении г' не зависят от самого значения z1 У, ZeAI, если предпочтения относительно лотерей (у, Z) зависят только от маргинальных распределений вероятностей на у и z
Математическое выражение определения \[и(уа, 2')>«y,2')M«(f, г)> >и(уъ, z)]t для всех Z "(У, 2)=f(z)+g(z)tl(yt 2°), g>0 ДЛЯ всех Z <(У', г'), (у0, 2°) >~«У, г0), {у°, г') > для всех yf% z'
Примечание PI — нерефлексивно; УеРІ от Z ие означает ZePI от У UI — нерефлексивно AI — рефлексивно
Продолжение табл. 6.5
Допущение Независимость по предпочтению (PI) Независимость по полезности (UI) Аддитивна»! независимость (AI)
Основные результаты: для двух факторов Если KeUI от Z и iZseUI от Y1 тогда и(у, г) =kYuY (у) + kzuz (z) +kkTkzUr(y)uz{Z) Если У, ZeAI, тогда и (у, z) = ^kYUY {У) +kzUz (Z)
для п факторов Если {Xu Xi)G=Pl от Хи, i=2, 3, я, тогда V(*)=2niwmiVi(Xi)t где V — функции ценности Если XiG=Ul от Xu 1 = 1, 2, ...,л, тогда U(X)=4Z kim{Xi) -f + ^kijUi(Xi)U}(Xj)+ ... 4-/>1 +A1... nWi(^l) ...Un(Xn) Если ЯіЄАі ot ^i, 1=1, 2, л, п тогда и(х)= Л kiUi(Xi) і= I
Сочетание PI и UI Если {Xi, Xi)G-Pl от Xu9 1=2, 3, л, и ХієШ от X и тогда либо (l)l-f ku(x) = Щ\+MtUi[Xi)] либо п (2)и(х) kjUi(Xi)
ПРИЛОЖЕНИЕ 6А ОБОБЩЕНИЕ НЕЗАВИСИМОСТИ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ И НЕЗАВИСИМОСТИ ПО ПОЛЕЗНОСТИ
Предположим, что имеются векторные факторы YuZn что при значении Z, заданном на уровне z°, существует определенный порядок предпочтений различных значений Y. Количественное описание этого порядка с помощью функции ценности V (у, z) позволяет определить независимость по предпочтению Y от Z. Бели [v(y\ z°)^v{y", z°)]=^\v(y\ z)^?v(y", z)ly Z1 то фактор Y не зависит по предпочтению от Z. Таким образом, при любом заданном значении z условный порядок предпочтений различных значений у оказывается неизменным безотносительно к выбранному значению z. Если же при некотором значении zr порядок на у сменяется на обратный, т. е.
будем говорить, что условные предпочтения «а у при заданных z° и z' являются обратными друг другу. При некотором другом уровне, z" например, эти же значения г/, возможно, окажутся равноценными. Фактор Y является независимым по предпочтению от Z в обобщенном смысле, если при двух каких-либо заданных значениях фактора Z (например, zr и z") упорядочения значений у либо одинаковы или обратны друг другу, либо же имеет место равноценность этих значений у. Более формально, фактор Y не зависит по предпочтению от Z в обобщенном смысле, если v(yy z) =f(z){v(у, z°)], где единственным ограничением, закладываемым на функцию f(z), является то, что она должна принимать скалярные значения. Если />0, получим случай обычной независимости по предпочтению.
Аналогично можно получить обратные порядки предпочтений для лотерей на Y при различных значениях Z. Если фактор Y не зависит по полезности от Z в обобщенном смысле, то
где 2° выбрано так, что имеет место некоторая условная предпочтительность различных значений Y при заданном значении z°, а функция h может быть отрицательной, нулевой или положительной. Если h(z') отрицательна, тогДа предпочтения относительно лотерей на Y три данном фиксированном значении z' обратны порядку предпочтительности этих лотерей при фиксированном значении z=z°. Конечно, когда й>0, /получаем случай обычной независимости по полезности, подробно обсуждавшийся в этой главе.
Фишберн и Кини (1971, 1975) показали, что результаты, аналогичные многим результатам настоящей главы, могут быть получены при использовании более слабых условий обобщенной независимости по предпочтению и по полезности вместо обычных условий независимости по предпочтению и по полезности. Однако некоторые из этих результатов не следуют только из факта «обращения» предпочтений.
ПРИЛОЖЕНИЕ 6Б ВЫЧИСЛЕНИЕ ШКАЛИРУЮЩЕЙ КОНСТАНТЫ k В МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
Принимая х=х* в выражении (6.14), получаем
[V (y', z°)^v(y\ Z0)
')>v(y', zf)]9
"(У* z)=g(z)+h(z)u(y, 2°),
п
?+.1= П (1
(6Б.1)
Подставляя в выражение (6.12) значения *** и Хі*у находим, что
Ui=U(Xi*),
&1 337
или
\=ki+l\+kki]u(Xi*). (6Б.2)
Поскольку ki<\, а функция и положительна, из выражения (6Б.2) следует, что
1+??<>0. (6Б.З) Сравнивая знаки обеих частей равенства (6Б.1), можно сделать вывод, что
k>—1. (6Б.4)
л
Теперь пусть S= 2 ki. Рассмотрим полином
