Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
32а
новимся лишь на самом сложном из них, когда ги в допущениях о ,независимости .по 'полезности существует некоторое «перекрывание». Для упрощения рассмотрения введем следующие обозначения:
Yi=(Xi, X2, Xr-i},
Y2= {Xr1 Xr+i, X7n},
Y3= {Хт+и X7n+2, Xn}.
В дополнение к исходному допущению О ТОМ, ЧТО Xi^UI, X== = 1, п, предположим, что {Yu Y2} .не зависит по полезности от Уз и что {Y2, Y3} не зависит по полезности от Y1. При сделанных допущениях из теоремы 6.1 следует, что функция полезности и(Уи У2, Уз) является либо, аддитивной, либо 'мультипликативной, и> следовательно, необходимо отыскать функции полезности для каждого Yj и три независимые шкалирующие константы. Но все компоненты каждого из множеств Yj являются независимыми па полезности факторами, поэтому члены щ (уj) могут быть найдены; с помощью функций полезности каждой компоненты Xi из Yj^m 2bj—2 шкалирующих констант, где bj — число факторов X^ в множестве Yj.
Пример 6.6. Для того чтобы проиллюстрировать эффективность этого результата, предположим, что имеется девять исходных факторов, обозначенных Хь X2, X9, и Yi=(X1, X2, X3}, Y2=(X4, Xj, X6} їй Y3=(X7, Xs, X9}. Тогда, если справедливы указанные выше допущения, необходимо построить щ(у{), и2(у2) и м3(#3) и найти три шкалирующие константы. Но для определения каждой из функций щ (уі) нужно еще определить три соответствующие функции полезности для соответствующих Xi и 2Ъ—2=6 шкалирующих констант. Следовательно, для определения всей функции полезности и требуется построить 9 одномерных функций полезности и всего лишь 2)1 шкалирующую константу. Для сравнения укажем на 510 шкалирующих констант, которые необходимо найти в том случае, когда известно лишь, что Х^еШ, і=\, 2, 9. .
6.10.4. Аддитивная функция ценности и мультипликативная функция полезности *>. Интересно сопоставить аддитивную функцию ценности, рассмотренную в § 3.6, с мультипликативной функцией полезности, рассмотренной в § 6.3, поскольку необходимые и достаточные условия существования аддитивной функции ценности являются необходимыми условиями для мультипликативной функции полезности.
Теорема 6.11. Пусть дано:
1. Предпочтения в пространстве XiXX2X... XXn описываются с помощью аддитивной функции ценности v.
2. Известно, что один из факторов Х*е1Л (пусть это будет,Х\).
3. /г>3.
*> Идеи, .положенные в основу этого раздела, принадлежат Р. Р. Мейеру и Дж. У. Пратту.
11-67 321
Тогда функция полезности и должна быть представила в одной из следующих трех форм:
и(х) с>0, (6.98а)
и(х) ~V(х), (6.986)
и(х) ~ес*<*>, с>0. (6.98в)
[Предварительное замечание. Теорема утверждает, что функция полезности для скалярного фактора V, значения которого выступают в качестве меры ценности v, должна характеризовать постоянную несклонность к риску.]
Доказательство. Представим v в виде
v(xu x2t Xn)=KiV1(Xi)+X2V2(X2)+ ...+XnVn(Xn) (6.99) и нормализуем фук ю v с помощью соотношений
v(xi*9 X2*, хп*) = 1, v(x°u х\ х°п)=0. (6.100) Аналогично, нормализуем функции vy,
Vs(Xt*) = 1, Vt(Xf)=O9 i=\, 2, .,, п. Тогда, естественно,
2Я<=1. (6.102)
Идея доказательства проста: построим функцию полезности для фактора V и покажем, что она должна характеризовать постоянную несклонность к риску (см. теорему 4.15). Отсюда .вытекают функциональные формы (6.98).
Пусть у= (х2, Xn). В принятых обозначениях х= (хЇ9 у) и Xi не зависит по полезности от Y. Пусть для фактора Xi справедливо *і~<л;і*, Хі°> и, следовательно, (?ь у) ~<(хі*, у), (х°, у) > дли всех у. Выраженная через фактор V эта равноценность означает
[Xi Vi(xi)+v(y)]~<X+v(y), v(y)>, (6.103)
>де
п
V(у)= S XiVi(X1).
Другими словами, добавление v (у) к исходам лотереи <Хи 0>, увеличивает детерминированный эквивалент на v (у) для всех V(у). Отсюда іследует постоянная несклонность к риску, что и требовалось доказать.
Теорема 6.11 представляет интерес по двум причинам:
1. Она обеспечивает простую процедуру построения многомерной функции полезности, если справедливы необходимые допущения и уже определена аддитивная функция ценности.
2. Аналитик может независимо построить как мультипликативную (или аддитивную) функцию полезности, так и аддитивную
322
функцию ценности и использовать одну из них для проверки другой.
Важно отметить, что если функция .полезности аддитивна, то справедливо выражение (6.986). В то же время если функция полезности мультипликативна, то должно быть справедливо выражение (6.98а) или (6.98в).
Когда известна функция v, нахождение функции и сильно упрощается. Необходимо лишь оценить детерминированный эквивалент х\ для лотереи <#і*, Х\°>. Тогда, если
V1(X1) Z=1I2V1(X*)+42Vl(Xf),
функция полезности должна быть аддитивной, вида (6.986). Пусть
vi (xi) Ф 1I2Vi (Xi*) + 1I2Vi (Xi°). (6.104?
Если левая часть выражения (6.104) меньше .правой, то функция-полезности описывается выражением (6.98а), в противном случае, справедливо выражение (6.98в). В каждом из этих двух случаев шкалирующую константу с можно найти, приравняв полезности исхода Xi и лотереи <*i*, х°>, используя выражения (6.98а) или (6.98в) и решая полученное уравнение.
