Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
313
этому {W9 Mi) = YiO^2Yj, а это означает, что W не является элементом.
Таким образом, каждый элемент Mk, &=1, S9 содержится по крайней мере в двух Yj9 /=1, R9 а раньше для этого случая было показано, что (Z-Mk}^Ul9 k= 1, s. Согласно той части теоремы 6.7, где рассматриваются пересечения,
П ^{Z-Mk} = {Z- U *k=slMk} G=UL
Далее, {Z— (J J^1Mb} П= поэтому из той части теоремы 6.7, в которой рассматриваются симметрические разности, находим, что {Z-BT)SUI1 так как {Z-U Li^} U Yi = Z.
Часть 3. Согласно части 2, каждое подмножество L—1 элементов из {Wu Wl) не зависит по полезности от своего дополнения до X. Таким образом, любое собственное подмножество из этих W совпадает с пересечением соответствующих множеств размера L—1. Поэтому согласно той части теоремы 6.7, где рассматриваются пересечения, все подмножества элементов не зависят по полезности от своих дополнений.
В следующем параграфе будет показана возможность использования теоремы 6.8 для структуризации многомерных функций полезности. Для иллюстрации эффективности, теоремы 6.8 воспользуемся ею для доказательства теоремы 6.2. Для удобства здесь еще раз приведем формулировку теоремы.
Теорема 6.2. Пусть даны факторы Хи X29 X719 тогда следующие утверждения являются эквивалентными.
1. Факторы Хи X29 Xn являются взаимонезависимыми по полезности.
2. Xi<=Ul9 i=\9 2, п.
3. {Xi9 Xi+U Xn}<=ui, *=2, 3, п9 и {Xi9 X29 Хп-і}єеіЛ.
4. {ХІ9 Хш}<=иі9 i=l9 2, п— 1; п^З.
5. *i<=ui и {Хи Xi}<=pi, 1=2, п9 п^З.
Доказательство. По определению, из утверждения 1 следуют утверждения 2—5. Для доказательства эквивалентности в обратную сторону покажем, что если выполняется любое из условий 2—б, то все факторы ;из Xi, X2, Xn являются элементами максимальной независимой по полезности цепи9 содержащей в себе множество {Хь Xn}. В этом случае доказываемый результат непосредственно следует из теоремы 6.8.
(2)=^(1). Заметим, что Ті=ХІ9_ тогда ( П^ДО П Х;=Х* является элементом цепи {Xi9 X29 Xn}.
(3)=^(1). Совокупность множеств Yi= {Xif Xf+i, Xn}, i=2, З, п— 1, и множество Yn={Xu X2, Хп_і} образуют максимальную независимую по полезности цепь. Отметим, что
(Д2^)П(Ді^)ПУл = Х- ^ = 2, 3,...,/1-1,
является ее элементом. Элементами этой цепи также являются ^n= ( Л JU Y;) Л Yn и X1= Yn П (П JtJKi).
314
(4)=^(1). Положим Yi=[Xu Xi+1), 2, n—1. Тогда
{Yu Y2, Yn-i) является максимальной независимой по !полезности цепью. Далее, очевидно, что
Хі-=КіП(ПЙР,), Xt-Yt-^YiOi П Yj), »= 2, 3,.... я—І,
являются ее элементами
(5)=^(1). Согласно теореме 6.6 {Хі, X*} єІЛ, і=2, 3, /г. Положим Yi=(Zi, Хг}, 1 = 2, 3, п. Множество {Y2, Y3, Yn} является максимальной независимой по полезности цепью. Тогда X1= f| пі==2Уі и Xi=Yi H(DjVnY1-), і=2, л, являются элементами ЭТОЙ ЦЄПИ. ;
6.10. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ *>
В предыдущих трех параграфах были рассмотрены результаты, полученные на основе использования наборов допущений следующих трех видов: 1) условие независимости по полезности совместно с условием независимости по предпочтению; 2) два перекрывающихся условия независимости по полезности; 3) некоторое количество условий независимости по полезности. Следствия допущений первой группы могут использоваться для установления справедливости допущений второй и третьей групп, а следствия допущений второй группы могут использоваться для установления справедливости допущений третьей группы. В этом и следующих параграфах будет предпринята попытка объединить некоторые из-указанных идей; кроме того, будут представлены важные, но более частные результаты. Доказательства теорем большей частью будут приводиться не очень подробно, так как они либо непосредственно следуют из доказанных ранее теорем, либо аналогичны им. Рассмотрим сначала обобщения мультипликативной и полилинейной функций полезности.
6.10.1. Обобщение мультипликативной функции полезности» Следующая теорема является непосредственным расширением теоремы 6.1.
Теорема 6.9. Пусть дано множество факторов X=(Xq9 X1, Xn}, где Xi9 /= 1, 2, Yt9 являются элементами максимальной независимой по полезности цепи (X0 сюда не входит!). Тогда
U(X09 X0) = и(X09 х°о) + [и(хо, X0*)— U(X09 х°о)]и(х°о9 X0)
U Либо (ЄСЛИ 2Пг=1&г=1)
п _ п
и(х*0, X0) = ^u(хи х]) = ?М<(Хі)> m_ J=I i=l
*) В данном параграфе содержатся более частные результаты, которые могут быть опущены при первоначальном ознакомлении.
315
либо (если 2^=1^1=7^1)
1 + to(х0, X0) = П [1 + ku (хь ~х])\ = П[1 +Mt щ (X1)I
еде
1. Xi= (х0, ХЬ Хг-ь *г+1, Xn), І = 0, 1, AZJ
2. и(х\ х°и х°п)=0, и(х°0, хД х2*, Xn*) = 1;
3. ui(x°i)=0, щ(х*) = 1, 2, /г;
4. ki=u(Xi*, Хг°), ?=1, 2, /г;
5. k— шкалирующая константа*\ которая является корнем уравнения
l+k=U (Л+kki).
Доказательство. Используя теорему 6.1 вместе с дополнительным допущением о независимости по полезности множества {Х\, X2, Xn] от фактора X0, получаем
U(x0i Xi, Xn)=U(X0) +С (X0) и (хи X2, Xn), с>0.
Это непосредственно приводит к заключению о том, что либо
