Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
зп
Рассматривая -множество Y4, замечаем, что оно полностью содержится в Y2 и полностью отличается как от Y1, так и от Y3. Таким образом, фактор Y4 не перекрывается ни с одним из факторов Yi, Y2 и Y3, и поэтому он не входит в конструируемую максимальную независимую по полезности цепь. Фактор Y5 также не перекрывается ни с одним из факторов Yi, Y2 и Y3; это означает, что совокупность множеств {Y1, Y2, Y3} является максимальной независимой по полезности цепью на X. Кроме того, фактор Y5 представляет собой другую максимальную независимую по полезности цепь на X.
Для того чтобы найти элементы максимальной независимой по полезности цепи {Yi, Y2, Y3}, заметим, что YiY2Y3=(X3}, YiP2Y3=,{X2}, YiP2P3=(Xi}, PiY2P3=(X4, X5}, a YiY2P3, P1Y2Y3 и PiY2Y3 пусты. Таким образом, существует четыре элемента цепи. Это Xi, X2, X3 и (X4, X5}. Для максимальной независимой по полезности цепи Y5 существует лишь один элемент (X7, X8}.
Вернемся к общему случаю и сформулируем важный результат.
Теорема 6.8 *). Каждое возможное объединение элементов максимальной независимой по полезности цепи, определенной на X=(X0, Хь Xn}, является независимым по полезности от своего дополнения до X.
[Предварительное замечание. Доказательство состоит из трех частей. Допустим, что существует L элементов {Wi9 WL} максимальной независимой по полезности цепи (Yi, YH}. Определим множество Z=U^1Yj9 которое может рассматриваться либо как совокупность факторов Xu являющихся членами какого-либо произвольного Yj, /=1, R9 либо как множество элементов {W\9 WL}- Покажем сначала, что множество Z не зависит по полезности от своего дополнения. Затем покажем, что каждое подмножество из L—1 элементов также не зависит по полезности от своего дополнения. Далее, из теоремы 6.7, в которой идет речь о пересечении множеств факторов, следует, что каждое объединение элементов не зависит по полезности от своего дополнения до X. Доказательство связано с 'максимальными независимыми по полезности цепями с тремя или более элементами. Единственный остающийся возможный случай — это цепи с одним элементом. Но тогда теорема верна по определению.]
Доказательство. Часть 1. Пусть {Yi9 YR} — максимальная независимая по полезности цепь. Из способа построения цепи ясно, что Yft+i пересекается с U )=1 Yj и отсюда, используя ту часть теоремы 6.7, где речь идет об объединениях, следует, что UJJr11YjSUI. По индукции, легко видеть, что и Z=U^i Yj^UL
*) Этот результат, являющийся следствием свойств максимальных независимых по полезности цепей, основан на последовательном применении теоремы 6.7. Такое же построение (с использованием в качестве основного инструмента результатов теоремы 3.7) позволяет получить аналогичные результаты в терминах понятий, которые можно было «бы назвать максимальными независимыми по предпочтению цепями и их элементами.
312
Часть 2. Для доказательства того, что каждое объединение из L—1 элемента цепи обладает свойством UI, перенумеруем Yj, так, чтобы типичный элемент цепи (обозначим его W) определялся следующим образом: Л S^i Yj njLr+i?j> we 1 ^Ir^jR, я [Uj~}Yj] П Yu t=29непусто. Такая перенумерация всегда возможна; это 'следует из способа построения Z. Надо доказать, что Z—W не зависит по полезности от своего дополнения.
Пересечение П 5=1 Yj должно быть эквивалентно либо W9 либо {W9 Ми M6}, где через Ми M8 обозначены остальные элементы. Допуская возможность существования среди M8 также нулевых множеств, общим случаем следует признать f] J^1 Yj=; = {W9 Mu M8}. Рассмотрим два случая: г^2 и г=\.
Для г^2 определим Tj= (YjU Ym)— (Yj П Yj+1) для /=1, 2, ..,
г—1. Согласно той части теоремы 6.7, в которой рассматриваются симметрические разности, каждое Tj^Vl9 /=1, 2, г—1. Из способа определения этих множеств следует, что каждое из Tj+i перекрывается с Tj. Таким образом, согласно той части теоремы 6.7, в которой рассматриваются объединения, получаем, что
U1Tj= \ (J Y1-[W9 M19.... AfjleUI.
Если все M8 являются нулевыми множествами, тогда очевидно [U^1Yj—W]^XJl. Поскольку ни одно из Yj9 /=г+1, JR9 не перекрывается с W9 [ U *i=i Yj—W] [}Yt+i эквивалентно UJiJ Y5-W для mext=r9 R—1.
Используя такие последовательные объединения и ту часть теоремы 6.7, где рассматриваются объединения, находим, что построенное множество [U JLi Yj—W] не зависит по полезности от своего дополнения, поскольку U J^iYj перекрывается с Yt+\.
Если {Mu M8} не является нулевым множеством, надо снова рассмотреть последовательные объединения, используя Yj, /=/+1, R9 и начиная с исходного построения [U$elYj— — {W9 Ми M8}] U Yr+i. Ни один из факторов Yj9 /=/-+1, R* не может перекрываться е W. Однако в совокупности U Hj=r+iYj должно содержать {Mi9 M8}, поскольку
W=Zf]Yj П Yj = (W9 M19..., M8} П Yj. j=i j=r+l /=г-и
Отсюда следует, что Uaj=h-iYj не содержит {Afь M8}. Используя последовательные объединения и действуя аналогичным образом, как и ранее, снова получаем, что [ U JLi^i —щ sUI.
Для г= I9 имеем W= Yi flRi=2Fj, а поскольку множество Yj по построению цепи должно содержать по крайней мере два элемента, в общем случае Yi=(W9 М{9 M8}. Каждый элемент Mk, & = 1, S9 должен содержаться <в некотором Yj9 J=Q9 R. С другой стороны, например, Mx должен находиться только в Y1, пб-
