Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
u(xs)=ps і ти(хт). Отсюда можно установить следующее правило:
Ps=Ps \т Pt, SaT7 (6.49)
которое является аналогом правила умножения вероятностей в теории вероятности.
В свете вышесказанного решение вопроса о том, провести ли непосредственную или косвенную оценку значений ku зависит от того, какая из процедур представляется более естественной в контексте рассматриваемой конкретной задачи. ,
6.6.5. Шкалирование мультипликативной функции полезности **К Методы нахождения значений шкалирующих констант для мультипликативной функции полезности рассматривались в п. 6.6.3. Однако наличие шкалирующей константы k характерно только для мультипликативной функции полезности, поэтому эта константа рассматривается здесь отдельно. В случае, когда справедливо
Ti
утверждение теоремы 6.1 и 2 Ai=I, функция полезности аддитнв-
п
на. Если же 2 Af=^l9 то функция полезности является мульти-1=1
пликативной и значение дополнительной константы k в выражении (6.14) может быть найдено, исходя из значений ki.
В этом случае, вычислив значение выражения (6.14) в точке я*, получим
1+A= П (1+AAi). (6.50)
п t=l
Если 2 Аг>1, то из выражений i(6.14) и (6.50) следует, что
для функции (6.14). свойство независимости по полезности может иметь место, лишь когда —1<А<0. В этом случае, итеративно решая уравнение (6.50) относительно А при заданных значениях-А*, i=ly 2, nt можно прийти к нужному значению А (обозначим его А*). Положим сначала A=A' и подставим это значение в
*) Аналогичная процедура в детерминированной постановке обсуждалась в § 3.7.
**) Утверждения этого пункта доказаны в приложении 6Б в конце настоящей главы.
298
выражение (6.50). Если правая часть (ПЧ) меньше, чем левая <ЛЧ), то k*<k\ Если же ПЧ больше, чем Л Ч, то k*>k\
п
В случае Б ki<\ из аналогичных рассуждений следует, что
k*>0. Произвольно положим k=k' и подставим это значение в выражение (6.50). Если ПЧ>ЛЧ, то k*<k', тогда как, если ЛЧ>ПЧ,то**>А/.
6.6.6. Пример *>. Для иллюстрации некоторых положений настоящего параграфа рассмотрим задачу о выборе места ,работы. Для простоты предположим, что каждое место работы характеризуется с помощью трех факторов: денежного вознаграждения, времени поездки на работу и степени урбанизации района. Обозначим их соответственно через Xu X2 и Хз. Более того, будем считать, что фактор денежного вознаграждения разбит на два —• начальный размер заработка и перспектива его последующего увеличения. Обозначим их через Yi и Y2 соответственно. Таким образом, X\ = Y\XY2. Шкалы измерений для каждого фактора представлены в табл. 6.1.
Таблица 6.1. Шкалы измерения факторов
Фактор Шкала измерения
Хг х, Начальная величина заработка Перспективы последующего увеличения заработка Время поездки на работу Степень урбанизации Начальный годовой доход, дол. Годовой размер заработка, дол. после пяти лет работы Время поездки на работу «от двери до двери», мин. Население городской территории
Затем необходимо установить наилучшие и наихудшие возможные последствия выбора любого места работы по каждому из факторов. Пусть эти экстремальные последствия уже найдены н представлены в табл. 6.2. Теперь можно установить #°i = 12 000 и у°2=12 000, отсюда x0i=(y°u у°2) = (12 ООО, 12 000). Аналогично будем считать *°2=60 и лг°3=0,5. Затем положим x*i=(18 000e 25 000), **2 = 0 и л:*з=15. Заметим, что х*2 принято равным нулю, хотя при самых благоприятных условиях время поездки на работу занимает не менее 10 мин. Тем не менее это вполне отвечает целям анализа, поскольку единственное ограничение, налагаемое на значение л:*2, состоит в том, что оно должно по крайней мере не уступать наилучшему последствию.
Теперь предположим, что допущения об аддитивной независимости были проверены и установлена их справедливость для всех факторов Xu однако они не выполняются для Yx и Y2. Тогда cor«
*> Здесь с помощью упрощенного примера иллюстрируются некоторые по-» ложен-ия, ранее выдвинутые <в этом параграфе. При чтении данный пример может быть опущен.
299
Таблица 6.2. Диапазоны шкал измерения факторов
Диапазон
Наилучшее значение Наихудшее значение
41: X2 X3 Начальная величина заработка Перспектива последующего увеличения заработка Время поездки на работу Степень урбанизации 18 000 дол. 25 ООО дол. 10 мин. 15 млн. 12 000 ДОЛ. 12 000 дол. 60 мин. 0,5 млн.
ласно теореме 6.4 функция полезности и(хи x2i *з) является аддитивной. Из выражения (6.29) следует, что
U(XU Х2у X3) =killi(Xi)+Jt2U2(X2)+kzllZ(Xz)y (6.51)
где
ы*(*о*)=0, Ui(x*i) = l для всех L (6.52)
Метод нахождения численных значений функций U2 и Uz при соблюдении условий (6.52) подробно обсуждался в гл. 4, поэтому здесь об этом больше не будем говорить'. Но функция Ui не является одномерной: она зависит от Yi и Y2. И, как утверждалось ранее, лицо, принимающее решение, опровергает справедливость допущения об аддитивной независимости этих двух факторов. Поэтому простая аддитивная функция полезности здесь оказывается неприемлемой. Возможно, удается использовать некоторые из обсуждавшихся в гл. 3 схем подстановок, которые в сущности .сводят двумерное представление к одномерному до проведения трансформации полезностей. Но что делать, если и такая попытка будет неудачной? В этом случае іможет оказаться целесообразным применить некоторые методы нахождения функций полезности для двух факторов, обсуждавшиеся в гл. 5.
