Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Общий случай предлагаемой ниже теоремы достаточно доказать для X= {X0, Xu X2}, поскольку каждый Xi может рассматриваться как векторный фактор. Указанный выше фактор Xo отличается от остальных факторов Xu На протяжении этой главы нигде не будет ни предполагаться, ни подразумеваться, что X0^Pl или ^UI. Следовательно, случай, при котором предпочтения относительно X0 оказались бы независимыми в каком-либо
*> Оставшаяся часть главы посвящена важным теоретическим и операциональным результатам. Читатель, интересующийся в основном прикладными вопросами, может перейти к гл. 7 и 8.
**) Пусть YczX^{Xif Xn). Если Y=Vl или PI, то «порядком допущения» является количество факторов Xi, входящих в множество У. Таким образом, например, допущение о том, что Y=[X21 X3)^Ul, является допущением ^второго порядка.
302
смысле от Хо, просто невозможен. Предполагается, что рассматриваемая ниже функция полезности и(х0, Xu X2) непрерывна и каждый ее аргумент оказывает вполне определенное воздействие на предпочтения. Кроме того, предполагается, что предпочтения рассматриваются на ограниченной области X и ограничены. Через (**о, х*х, лг*2) и (лг°о, х°и х°2) обозначаются соответственно наиболее и наименее желательные последствия.
Теорема 6.6*>. Пусть имеются три фактора {X0, Xx, X2}. Если {Xu X2} не зависит по предпочтению от X0, а фактор Xx не зависит по полезности от {X0, X2}, тогда {Xx, X2} не зависит по полезности от X0.
Предварительное замечание. Этот результат показывает, что независимость по предпочтению множества факторов {Xx, X2} от его дополнения может быть усилена до независимости по полезности при условии, что либо Xx, либо Х2еШ. Теорема 6.6 предоставляет необходимые условия для допущения о независимости по полезности второго порядка через допущение о независимости по предпочтению второго порядка и допущения о независимости по полезности первого порядка. ,
Доказательство теоремы 6.6 является весьма сложным, но с помощью специальных обозначений его изложение можно упростить. Для того чтобы избежать индексации їв тех 'местах, где это не является необходимым, переобозначим факторы следующим образом: R=X0, S=Xx и T=X2. Так, например, s будет обозначать определенное значение фактора S, а сама функция полезности тогда будет записываться в виде u(s, t, г).]
Идея доказательства. Метод доказательства можно проиллюстрировать, приняв s и t за скалярные величины. Пусть г' будет произвольным фиксированным значением фактора R. Рассмотрим три кривые равного предпочтения (или, иначе говоря, кривые безразличия), изображенные на рис. 6.3а. Эти же самые условные кривые равноценности сохраняются и при любом другом значении г, так как {S, Г}еР1. Предположим, что при заданном значении Ґ известно В~<А, С>. Надо показать, что и при любом другом заданном значении фактора R (например, г") равноценность В~<А, С> сохраняется. В этом заключается смысл доказательства.
Одной из основных аксиом теории полезности является принцип замещения: при замене любого возможного исхода лотереи его эквивалентом сама лотерея не становится ни хуже, ни лучше. Следовательно, при заданных Ґ и г" известно, что <Л, С> ~ ~<А', С>, а В~В'. Но поскольку SeUI, то отсюда следует, что если В'~<А, С> при заданном значении г', эта эквивалентность сохраняется также и при заданном значении г". Таким образом, можно геометрически продемонстрировать сущность доказатель^
*> Этот результат не требует ограниченности функции и, как доказано Фишберном и Кини (1974), условия независимости могут быть ослаблены так, чтобы охватить также случай «обращения» предпочтений для различных факторов.
303
ства, а если каждая кривая равноценности пересекает одну общую горизонтальную прямую, то становится легко пояснить и его подробности. Но что случится, если появятся две кривые равноценности PnQ такие, как показаны на рис. 6.36? В этом случае придется несколько изменить приведенную выше аргумента-
значение финсире- Г
сг)Уело0те
<#/?&06/Є000//0//0////00/77V \ $/7//00/77Р0//Є/77&Є $*Г
s $ 0) Лостроете
/70 /70/703//О0/77#
80p//3Off-/770/76ШХ /70//UU //Є
^\/7Є/?есе//гг~
Є/77СЯ 0 /#7006///// /700//0//Є//*
mgm/Pi/0
Рис. 6,3. Иллюстрация доказатель* ства теоремы 6.6
цию и поэтапно построить область соответствия. Сначала надо показать (см. рис. 6.3в), что условие независимости по полезности {5, T) от R справедливо для всех г и пар (s, t) в области А\. Затем, поскольку линия t = tl пересекает А и можно показать, что это условие справедливой длявсех (s, Я). Так как каждая пара (s, t) из-A2 равноценна некоторой паре (s, /1), необходимое условие независимости по полезности может быть распространено и на область A2. Затем выбирается некоторое значение /2, такое, что линия t = t2 пересекает область Л2, и процедура повторяется. В конечном счете одна из областей Ai (Л4 на рис. 6.3, в) пересечется с линией t = t*, и справедливость условия независимости по полезности может быть доказана для этой линии и распространена на область Л5. Поскольку области А\ покрываютвсепары (s, t), условие независимости по полезности справедливо для всех значений S9 t И Г.]
