Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*> Как уже отмечалось в § '5:8, параметры ki нельзя интерпретировать как характеристики относительной важности факторов Xi.
295
Пример 6.1. Допустим, было установлено, что kx>k2>%, хотя для целей предлагаемого примера нужно знать лишь наибольшее из ki. Затем лицо, принимающее решение, просят назвать такое значение хх (пусть это будет х'х), при котором последствия (х'и х°2, x°z) и (х°и х*2у х°г) оказываются равноценными. Из вы* ражения (6.34) следует
kxux(x'x)=k2, (6.39)
где их(х'х) является уже числом, находящимся в пределах от О* до 1. Аналогично следует найти такое значение Xx (пусть это будет х"х), при котором (х"и х°2, х°г) ~*(х°и х°2, **з). Приравнивание соответствующих полезностей позволяет установить
kxUl(x"x) =*8. (6.40)
Заметим, что получаемая здесь информация идентична той, которая была использована в гл. 3 для шкалирования функций ценности.
Если функция полезности аддитивна, то из выражения (6.29) следует, что для согласованности констант должно выполняться равенство
kx+k2 + kz=L (6.41)
Система уравнений (6.39), (6.40) и (6.41) может быть легко разрешена относительно искомых значений ki. Естественно, чтобы быть согласованным, значение &з должно быть меньше, чем k2.
Если функция полезности мультипликативна, тогда из выражения (6.14) для согласованности значений констант должно выполняться равенство
k+l = (kkx + \)(kk2+\) (kkz+l). (6.42)
Уравнения (6.39), (6.40) и (6.42) в совокупности содержат четыре неизвестных: kx, k2, k$ и k, поэтому необходимо привлечь еще одно уравнение. Прибегая с этой целью к сравнению лотерей, можно определить такое значение вероятности рх, при котором последствие (х*ь х°2> x°z) будет равноценно лотерее <'(**1* **2, **з), Pu {х°и х°2у х°з)>. Используя мультипликативную функцию полезности для трех факторов и приравнивая ожидаемые полезности, находим
A1=P1. (6.43)
Решение этого уравнения совместно с уравнениями(6.39),(6.40) и (6.42) позволяет найти шкалирующие константы.
6.6.4. Шкалирование аддитивной функции полезности. Обра» тим внимание на константы ki в аддитивной функции полезности в случае п факторов. Заметим, что !эмпирической оценке (подлежат лишь п —1 коэффициентов ku так как /г-й коэффициент может быть найден из условия согласованности
S ki=]i. (6.44)
296
Хотя использование вопросов первого и второго типа при оценке констант ki достаточно !просто «выглядит в процедурном смысле, получение ответов на эти вопросы может вызвать затруднения. Дело б том, что, некоторые !вопросы, задаваемые лицу, принимающему решение, при использовании этого метода могут оказаться для него очень трудными. Но прежде чем перейти к обсуждению путей преодоления этих трудностей, нам опять придется ввести некоторые новые обозначения. Пусть для любого подмножества T множества индексов {1, 2, п} символ хт обозначает точку X1 в которой t-й фактор принимает либо значение х*и если і принадлежит T9 либо значение х°и если і не принадлежит 7. Таким образом, для п=5 и T= {I9 2, 4}
*Т=*{\ ,2.4}= (х*и х*2, х\ **4, *°5). (6.45)
Определим также
*г= S ki (6.46)
и вероятность рт такую, что для лица, !принимающего решение, лотерея Lr=s <х*9 рт9 х°> оказывается равноценной детерминированному исходу в виде последствия хт. Используя эти обозначения при оценке значения рт для любого конкретного T9 получаем, что полезность и(хт) должна быть равна ожидаемой полезности лотереи Lr. Ожидаемая полезность лотереи Lr, очевидно, равна рт> а u(xT)=kTt поэтому
kT=pT для всех 7\ (6-47)
Из выражения (6.46) следует, что, зная значения ku нетрудно найти значение kT для любого подмножества Т. Однако в ряде случаев для лица, принимающего решение, может оказаться менее затруднительным получить значения ki на основе значений некоторых kT. Это может быть сделано с помощью выражений (6.46) и (6.47).
Пример 6.2. Пусть снова п=Ъ9 и предположим, что T= {I9 2, 4} и R = (1, 2}. Тогда, если значения рт и pR нам уже удалось получить (на основе эмпирических оденок, например), то из выражений (6.46) и (6.47) следует
kT=:=ki + ki+ki = pT9 kR = k\+k2 = pR.
И, как легко !заметить, в этом примере
k4=pT—pR. (6.48)
Конечно же, существует много различных способов проверки согласованности полученного значения k^ Например, предположим, что для подмножества 1Q=(I, 2, 3, 5} было оценено значение р0. Тогда, поскольку из выражения (6.47) следует k\+k2 + k3+ks = ^=Pq, а из выражения (6.45) k[+k2 + kz+k4 + ks=l9 то k^=l—pQ* Другим очевидным способом проверки согласованности значения &4 является, как ранее было указано, непосредственная (эмпирическая) оценка значения рь.
297
Из обсуждаемого ниже положения теории вероятности вытека» ет еще один подход к оценке коэффициентов kf. При установлении значений вероятности на конечном полном множестве взаимно исключающих друг друга событий {Eu E2, Ег} часто бывает удобно сначала установить вероятности реализации некоторых подмножеств таких событий, а затем, используя условные вероятности, найти искомые вероятности отдельных событий. В рассматриваемой задаче использование аналогичной процедуры может оказаться полезным*). Теперь представим, что 5 является подмножеством множества Т. Пусть необходимо найти, какая часть значения kT приходится на 5. Пусть ps\ т является таким значением вероятности, что последствие jc5 равноценно лотерее <Хт; Ps і г, х°>. Приравнивая ожидаемые полезности, получаем
