Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В случае п факторов условия аддитивности функции полезности по Фїишберну можно сформулировать следующим образом.
Определение. Факторы Xx, X2, Xn являются аддитивно независимыми, если предпочтительность лотерей на Х\9 X2, Xn зависит только от их маргинальных распределений вероятностей и не зависит от их совместного распределения вероятностей.
Используя это определение, можно сформулировать основной результат теории аддитивной полезности.
Теорема 6.4. (Фишберн). Аддитивная n-мерная функция полезности
и{х) =2 и(хи x°i) = 2 (хі) (6.29)
существует тогда и только тогда, когда выполняется условие аддитивной независимости факторов Хи X2, Xn, где
1. Функция и нормализована условиями и(х°х, х°2, х°п)=0 й U(Xi*, х2*9 Xn*) = 1.
2. щ является условной функцией полезности для Xi и нормализована условиями Ui(x°i)=0 и щ(хі*) = 1, t=l, 2, п.
3. ki = U(Xi*, Х°і), i=il, 2, п.
Доказательство. Доказательство строится на последовательном использовании представления функции полезности для двух факторов в соответствии с теоремой 5.1. Если в качестве фактора У принять множество {X2, Х$9 Xn}, тогда из теоремы 5.1 следует
и(хи X29 Xn) =kxui(xi) +kYuY(x29 Xz9 Xn). (6.30)
285
Затем для того, чтобы произвести декомпозицию функции uY, положим Z=(X3, ХА, Xn} и, снова используя теорему 5.1, получим
Uy(X2, X3, xn) = It2U2(X2) +-kzUz(Xz> X4, Xn). (6.31)
Продолжая действовать таким же образом и подставляя выражение (6.31) в (6.30) и далее, в результате получаем выражение (6.29). Обратное утверждение следует непосредственно из нахождения ожидаемой !полезности произвольной лотереи с использованием аддитивной функции полезности.
Формулировка необходимых и достаточных условий существования аддитивных функций полезности по Поллаку (1967) приводит к следующей теореме.
Теорема 6.5. (Поллак). Функция полезности лица, принимаю^ щего решение, является аддитивной тогда и только тогда, когда его предпочтения относительно любых двух лотерей
L{=<(xU X'i), (xft Xf)> И I2SS < (*,, Хі"), (Xib,Xib)>
остаются одинаковыми для всех х\ при любых х/, х", xf, Xf9
ХгЬ И Xi0.
[Предварительное замечание. Основное допущение, делаемое Пол-лаком, проиллюстрировано на рис. 6.2, где Lx есть лотерея <А9 В>, a L2 — лотерея <С, D>. Отметим, что исходы Л и С имеют одно и то же значение фактора Xi. Допущение Поллака
утверждает, что если значение Xi исходов А и С будет изменено, то установленная предпочтительность между лотереями Lx и L2 должна сохраниться. То есть, если А и С будут сдвинуты по горизонтали до А' и С', то предпочтительность между лотереями Ui= <Л', В>\ и L/2 = <C/, D> должна быть той же, что и между лотереями Lx и L2.]
Доказательство. Если функция полезности и аддитивна, тогда ожидаемые полезности указанных выше лотерей (при вычислении ожидаемых полезностей используем выражение (6.29)) будут соответственно
E[U(L1)J=1I2U(Xu x°i)+'I2U(X0U x'i)+ 'I2U(Xf, xf),
E[U(L2)}='I2U(Xu х°і)+'l2u(x0u Xi")+'I2U(X1*,
Вычитая E[u(L2)] из E[U(Lx)], убеждаемся, что относительная предпочтительность лотерей Li и L2 не зависит от значения Xu
Теперь примем, что относительная предпочтительность лотерей Lx и L2 ,не зависит от х{. Пусть х^=х'и xf = x" и xf=x^=x°u Тогда Li= < (хи Xi'), (xf, хї')> и L2= < (я*, */'), (xf, *«')>. Для одного значения Xu например xf, лотереи Lx и L2 одинаково предпочтительны. Из условий теоремы следует, что одинаковая
Рис. 6.2. Иллюстрация условия аддитивности Поллака
286
предпочтительность этих лотерей должна сохраняться при любом Xi. Последовательное многократное применение теоремы 5.1 позволяет установить, что функция и аддитивна.
Основным преимуществом аддитивной функции полезности является ее относительная простота. Построение функции полезности для п факторов сводится к нахождению п функций полезности, за-, висящих от одного фактора, и п—1 независимых шкалирующих констант. Для нахождения численных значений одномерных функций полезности можно использовать любой из методов, обсуждаемых в данной книге. Вопрос о нахождении значений шкалирующих констант рассматривается в § 6.6.
Основным недостатком аддитивной функции полезности является ограничительность необходимых допущений. Часто можно ожидать, что полезность той или иной лотереи будет зависеть не только от маргинальных распределений вероятностей для соответствующих факторов, но и от их совместного распределения вероятностей. К тому же їв конкретных содержательных задачах большие трудности вызывает проверка справедливости рассматриваемых допущений. Такие трудности возникают в связи с тем, что допущения сформулированы в терминах предпочтений лица, принимающего решение, относительно распределений вероятности реализации последствий, различающихся значениями нескольких факторов.
6.6. УСТАНОВЛЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ *)
Использование аддитивной, мультипликативной и полилинейной функций полезности, а также независимости по (предпочтению и по полезности позволяет свести задачу установления численных значений функции полезности для п факторов к построению п одномерных функций полезности. Обозначим эти функции для каждого из факторов через их, и2, ип, а шкалирующие константы через kj, /=1, 2, г. Тогда
