Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*) Условие 5 можно сформулировать в более общем виде. В этом случае необходимо, чтобы любой из факторов, «е обязательно Xi, был независим по полезности от своего дополнения.
282
торов. Однако проверка условий 2—4 требует от лица, принимающего решение, установления предпочтений относительно лотерей, исходы которых различаются значениями от двух до п—1 факторов. Эта задача оказывается очень обременительной. Условие 5 связано с предпочтениями относительно последствий, отличающихся значениями лишь двух факторов, и предпочтениями относительно лотерей с исходами, различающимися только по одному фактору. Это последнее условие !представляется приемлемым во многих задачах, и, как было установлено, в практических ситуациях его действительно легко проверить (см. гл. 7 и 8).
6.4. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ *>
Полилинейная функция полезности в случае п факторов является обобщением функции полезности, установленной в результате 3 § 6.2, для трех факторов. Она также является обобщением как аддитивной, так и мультипликативной функций полезности. Это может быть сформулировано в виде следующей теоремы.
Теорема 6.3. Пусть дано множество факторов Х=в{Хи X2, ...» Xn}, где /2^2. Если Xi не зависит по полезности от Xu і—
= 1,2,...,/1,70
п п
U(X)=Y1 kt щ to)+S Skti щ to)и* to)+
t=l 1=1
n
+2 2 2 kin щ to) ui to) ui +
i=l JX t>j
+ ... + #123 • • • n U1 (X1) U2 (X2) ...Un (Xn), (6.22)
где
1. Функция и нормализована условиями и(х°\, х°2, х°п)=0 и U(Xi*, X2*, Xn*) = 1.
2. Ui(Xi) является условной функцией полезности для Xi, нор-мализованной условиями Ui(x°i) = 0 и Ui(x*i)=\.
3.Шкалирующие константы могут быть найдены**) с помощью выражений
ki=u(xi*, х°і), (6.23а)
ka = u(Xi*, Xj*, x°ij)—ki-kj = u(Xi*, Xj*, X°ij) —
—u(xi*, x°i)—u(Xj*, x°j), (6.236)
kiji=U(Xi*, Xj*, Xi*, X°iji)—kij—kii—kji—ki—kj—ki = = U(Xi*, Xj*, X1*, X°iJl)-U(Xi*, Xj*, X°ij)—u(Xi*, X1*, X°il) — —U(Xj*, X1*, X0J1) +U(Xi*, X°i) +U(Xj*, X°j)+u(Xi*, X°i),
_ (6.23b)
*> Результаты этого параграфа были обобщены Фишберном (1973b) я Фаркаром (1975). В последней работе рассмотрены в том числе и декомпозиции для «неразделяющихся» взаимодействий переменных.
**) Для упрощения получаемых выражений нами несколько расширены введенные обозначения. Так, например, в записи (лгі, х2, X12) через JCi2 обозначены значения всех факторов, кроме Xi и X2.
283
^123...71==^(^)-2^1...(^-1)(14-1)...71— S X
і і, і>і і
=і-2«к, *;)+...+(-тг2 ? 4 %> +
+ (-I)^1S"«» (6.23г)
Доказательство. Согл асно допущению о независимости по полезности, из выражения (6.6) следует, что
и(х)=и(Хі)+с{(Хі)и(Xi)9 Сі>09 і=і9 2, п9 (6.24)
где функция и шкалирована от 0 до 1. Определим функцию Ui таким образом, чтобы она ібьіла функцией полезности для фактора Xi9 шкалированной от 0 до 1. Далее, заметив, что u(xt)=kiUi(Xi) при некоторой положительной константе ki, можно определить di(xi)=kiCi(Xi) и переписать выражение (6.24) в виде
и(х) = и(Xi) +di fa)Ui(Xi)9 di>09 i=l9 2, я. (6.25)
Для вычисления значений di в выражении (6.25) положим Xi равными их наиболее желательным значениям. Отсюда получим
u(xi*9 Xi)=u(x°i9 Xi) +di(xi)щ(хі*)
И, ПОСКОЛЬКУ Ui(Xi*) =1, то
di(Xi) =и(Хі*9 Хі)—и(х°І9 Xi)9 г—19 2, п. (6.26)
Подставив значение di(Xi) из выражения (6.26) в выражение ,(6.25) и проведя перегруппировку, найдем
и(х)=щ(Хі)и(Хі*9 Xi)+\[\—щ(Хі)]и(х°І9 х{)9 і= I9 2, я.
(6.27)
Доказательство становится далее простым по смыслу, но алгебраически громоздким. Будем последовательно подставлять значения выражения (6.27) для i—19 2, п в само себя и при помощи перегруппировки получим нужный результат. Приведем здесь лишь первый шаг, на котором выражение (6.27) при і=2 подставляется в выражение (6.27) при г=!1:
и(х)= U1(Xi)U(Xi*, xi) + [Ir—Ui(Xi)]U(Jd9i9 Xi) =
Z=Ui(Xi)[U2(X2)U(Xi*, х2*9- xi2) + [1—и2(х2)]и(хг*7 Х°29 Xi2)] +
+ [1— Ui(Xx) ] [U2 (X2)U (Х°и Х2*9 Хі2) + [\—щ(Х2)]и(х°иХ\ Х{2)] =
= и(х°и х°2, Xi2) + [и(хі*, х\ хї2)—и(х°и Х°29 XX2)]Ui(Xi) + + [и(х°и х2*, Xi2)—и(х°и х°2у xx2)]u2(x2) + [u(xi*9 X2*, Xi2) —
—U(Xi*9 Х°2, Xi2)—U(x°u X2*, Xi2) +U(X0u Х\ ХХ2) ] Ux (ХХ) U2 (х2) .
(6.28)
Повторяя эту процедуру, получаем искомый результат — выражения (6.22) и (6.23).
284
Сравнивая результаты теорем 6.1 и 6.3, можно увидеть, что выражение (6.22) является обобщением мультипликативной и аддитивной функций полезности. В случае полилинейной функции (полезности (6.22) существуют —1 шкалирующих констант, но, поскольку и(х*) = \9 сумма всех этих констант должна быть равна 1, и поэтому среди этих шкалирующих констант лишь 2П—2 будут независимыми. Используя выражение (6.23), шкалирующие константы можно вычислить, зная полезности в «угловых» точках области возможных последствий в X.
6.5. АДДИТИВНАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
В этом разделе будут рассматриваться аддитивные функции полезности для п факторов. Значительный вклад в развитие этой области внесен Фишберном (1964, 1965а, 1965в, 1966, 1967а, 1976в, 1967с, 1970, 1971, 1972). Им были определены необходимые и достаточные условия существования аддитивной функции полезности для многих случаев, в том числе для полных произведений множеств, счетных произведений множеств, неполных произведений множеств и при взаимозависимости некоторых факторов. В работах Прузана и Джексона (1963), Поллака (1967) также представлены необходимые и достаточные условия аддитивности функции полезности.
