Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кини Р.Л. -> "Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения" -> 139

Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.

Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. Под редакцией Шахнова И.Ф. — M.: Радио и связь, 1981. — 560 c.
Скачать (прямая ссылка): prinyatie risheny1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 261 >> Следующая

Теорема 6.7. Пусть Yx и Y2 являются перекрывающимися факторами, принадлежащими X=(X0, ХЇ9 Xn}. Если каждый из Yx и Y2GElJI, то
1) Yx[J Y2 (объединение Yx и K2)^UI.
2) Yx Л Y2 (пересечение Yx и Y2)Z=UI.
3) (Yx П P2) U (Pi f\Y2) (симметричная разность Yx и Y2)^UI.
4) Yi Л Y2 и Yx П Y2 (каждая из разностей) eUI.
Доказательство. Поскольку X1 может обозначать и векторный фактор, то общий' случай теоремы может быть доказан с помощью рассмотрения частного, при котором X=(X0, Xx, X2, Х$}, Yi=(Ji, X2} и Y2=(X2, Xz}, и предполагается, что каждый из факторов Yx и Y2^UI.
В этом случае нужно показать, что (I) {Xx, X2, X3} eUI, (II) X2I=IJI9 (III) {X19 X3}є=Ш и (IV) XiG=UI и Xz<=UI. Согласно выражению (6.6), доказываемые положения могут быть соответственно записаны в виде
и(х)=и(х0, хХу x2i Xz)=U(X09 Xz)+с(X09 х3)и(хх, х2), (6.72);
и(х) = и(х0у Xi9 X29 xz)^=u(x09 Xi) +d(x0t xx)u(x2i xz), (6.73)
307
где, как и ранее, в тех случаях, когда не возникает путаницы, аргументы функций и, с и d, принимающие наименее желательные значения, опущены. Так, например, и(хи X2) и d(x0) обозначают соответственно и(х°0, х\у х2, х°3) и d(x0, x°i). Необходимо отметить, однако, что из выражений (6.72) и (6.73) следует
с(х% х°3) =\ и d(x°0, х°г) «1. (6.74)
Часть I. Подставляя выражение (6.73) в выражение (6.72), а затем (6.72) в (6.73), получаем соответственно
и(х) =и{х0) +d(x0)u(x3) +с(x0i хг) [и(хх) + d(xx)и(х2)];
(6.75)
и(х) =и{х0) +C(X0)U(X1) +d(x0, Xi) [и(х3) + с(х3)и(х2)].
(6.76)
Приравнивая выражения (6.75) и (6.76) при х3=х°3, находим
d(х0, Xx)= с(х0)d(Xx). (6.77)
Отсюда с учетом выражения (6.76) следует
u(x)=u(x0)+c(x0)[u(xx)+d(xx)u(x2, X3)]. (6.78)
Вычисляя выражение (6.73) при #0=*%, убеждаемся, что
и(хи x2t X3) = и (xi) +d (Xi) и (х2, X3),
и тогда из выражения (6.78) вытекает
и(х) = и(х0) +с(х0)и(хи х2, х3). (6.79)
Выражение (6.79) означает, что множество факторов {Xu X2, X3) не зависит по полезности от фактора X0.
Часть II. Подстановка выражения (6.73) в (6.72) дает
и(х)=и(х0, х3)+с(х0, x3)[u(xi)+d(х{)и(X2)]. (6.80)
Вычисляя это выражение при X2=х°2, получаем
U(X0, Xi, X3)=U(X0, X3)+ C(X0, X3)U(Xx). (6.81)
Объединяя выражения (6.80) и (6.81) и обозначая с(хиx3)d(x{) через f(x0, Xu х3), находим
и(х)=и(х0, Xu x3)+f(x0, Xu х3)и(х2), (6.82)
что свидетельствует о независимости по полезности фактора X2 от {X0, Xu X3}.
Часть III. Положив Xo= х°0 и х2=х°2 ъ выражениях (6.72) и (6.73) и приравняв их, получим
U(Xq) + с (X3) u(Xi)\= U(Xi) + d(Xx)u(X3). (6.83)
Перегруппировка членов этого выражения дает
C(Xs)^l =rftob-l =<fe> и{х.)ф09 i=l 3> (6.84)
U(X3) u(Xi)
где k — константа, так как в выражение (6.84) входит функция от х3, равная функции от хх. Если и(хх)=0, то из выражения
308
(6.83) следует, что d(xx) = l и аналогично с(х3) =1, когда и(х3) = (к Таким образом, из соотношения (6.84) легко увидеть, что
c(x3)=ku(x3) + l; (6.85)
d(xx)=ku(x{) + \. (6.86)
Эти выражения можно подставить в выражение (6.75) при х0=х\ и 'получить
и(хи х2, X3) = и(х3) + [ku(x3) + 1] [U(X1) +{[ku(xx) +1]и(х2)] =
=и(х2) +\ku (х2) +1] [и(х{) + и(лг3) +ku(X1)U(X3) ]. (6.87) Объединяя соотношения (6.87) и (6.79), находим
и(х) = U(X0) +с(х0) [и(х2) + [ku(x2) + \]и(хи X3)] =
= и(х0, X2) +g(x0y X2)U(Xu х3)9 (6.88)
где g(x0, X2) = с(х0)[ku(х2) +1]. Выражение (6.88) доказывает желаемый результат, т. е. что {Лі, X3} не зависит по полезности or {X0, X2}.
Часть IV. Пусть множество факторов {Xx, X2} не зависит по полезности от своего дополнения. В части III было показано, что {Хи X3} не зависит по полезности от своего дополнения. Следовательно, из части II вытекает, что 'пересечение Xx не зависит от своего дополнения {Хо, X2, X3}. Отсюда также следует, что фактор X3 не зависит по полезности от множества факторов {Xо, X\, X2}.
Теорема 6.7, исходным положением которой являются допущения о независимости по полезности, связана с предположениями относительно лотерей. Эта теорема во многом сходна с результатом Гормана (1968а), относящимся к предпочтениям относительно последствий и полученным из условий независимости по предпочтению. Если в теореме 6.7 каждое условие независимости по полезности заменить условием независимости по предпочтению^ то, в сущности, будет получен результат Гормана (см. гл. 3*>).
6.9. ДЕКОМПОЗИЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ
Грубо говоря, чем больше можно использовать свойств независимости по полезности, тем проще становится установление численных значений функции полезности. Важно определить такой простейший, функциональный вид функции полезности в многофакторном случае, который был бы согласован с широким кругом различных допущений относительно независимости по полезности. Помня об этом, попытаемся обобщить результаты § Q.S в виде соответствующей «теоремы о цепях», используя в качестве
*) Поскольку из условия UI следует условие PI, можно было бы использовать результаты Гормана (см. теорему 3.7) для доказательства теоремы 6.7. Но условие UI является настолько сильным, что позволяет представить прямое алгебраическое доказательство.
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 261 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed