Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство*). Условие независимости по полезности
*> В отдельных случаях, когда фактор принимает наименее желательное значение, обозначаемое, например, через s°, оно не будет указываться в обозначении функции, конечно, если это не приводит к двусмысленности. Так, вместо w(s°, Г, г), «(s°, t, г) и b(t°t г) будут использоваться обозначениями и{г), M(t, г) и b(г).
304
фактора S от {TR} можно представить следующим образом:
u(s, t9 r)=u(t, r) + b(t9 r)u(s)9 b>0. (6.54);
Поскольку {S9 T} не зависит по предпочтительности от R9 из выражения (6.4) известно, что
[U(S9 t9 r°)=u(s+, t+9 r°)]*$ [u(s9 t9 r)=u(s+9 /+, г)], V г.
(6.55)
Для каждой лары (s, t) из Ль определяемой выражением
A1=Us, t) : u(s, t, r0)^u(s\ f, г°)}9 (6.56)
существует такое значение s', что
u(s, t, r°)=u(s', t°, r0), (s, t)<=Au (6.57)
Из выражений (6.55) и (6.57) следует, что
u(s,t,r)=u(s',t°,r),vr9 (s, t)<=A{. (6.58)
Вычисляя выражение (6.58) с учетом выражения (6.54), находим u(s, t, r)=u(r)+b(r)u(s'), у г, (s, t)t=Ai. (6.59)
Объединяя это выражение с (6.67), получаем
u(s,t,r)=u(r)+b(r)u(s,t),yr, (s, t)<=Ax. (6.60)
Выражение (6.60) показывает, что {5, T) не зависит по полезности от R ,при (s, t)^A\ для ©сех г. Нам бы хотелось это условие распространить на все возможные шары (s, t). Выберем такое Р, при котором
u(s°, t°, r°)<u(s°9 Р, r°)<u(s*, t°9r°). Поскольку (s0, P)^Ax, то из выражения (6.60) следует
u(s°9 P, r)=u(r)+b(r)u(P)f у г. (6.61)
Вычисляя выражение (6.54) при t=P и г=г°9 получим
u(s, P)=u(P)+b(P)u(s),V s. (6.62)
Полагая t=P в выражении (6.60), :находим, что
u(s, Р, r)=u(r)+b(r)u(s, Р), (s, P)I=A1. (6.63)
Объединяя это выражение с (6.62), получаем
u(s, P9 r)=u(r) +b(r) [U(P) +b(P)u(s)] = = и(Р, г) + b(г)b(P)и(s), У г, (s, P)I=A1. (6.64) Сравнение выражений (6.64) и (6.54) при t = P показывает, что
Ь(Р, r)=b(r)b(P), V г. (6.65)
Подстановка выражений (6.61) и (6.65) в (6.54) при t=P дает u(s, Р, r)=u(P, r)+b(P, r)u(s) = = u(r)+b(r)[u(P)+b(P)u(s)], Vs, г. (6.66)
305
Объединение этого выражения с (6.62) позволяет установить
u(s, t\ r)=u(r)+b(r)u(s, ^,Vs, г. (6.67?
Для того чтобы расширить область применения результата (6.67), определим область A2 следующим образом:
A2= {(s, t) : u(s*, f, r°)<u(s, t, r°)^u(s*, t\ r°)}.
Для любой пары (s, t)^A2 существует такое значение s", что
u(s, t, r°)=u(s", t\ r°), (s, і)єеА2, (6.68)
поэтому из выражения (6.55) следует
u(s, t, г)= u(sf/, t\ г), Vr1 (s, /)єеЛ2. (6.69)
Вычисление правой части выражения (6.69) с учетом (6.67) дает
u(s, t, r)=u(r)+b(r)u(s", V).
Объединяя это выражение с (6.68), получаем
и (s, t, г) =u(r)+b (г) u(s, t), (s, t) єеЛ 2. (6.70)
Равенство (6.70) показывает, что {5, T) не зависит по полезности от фактора R для пар (s, t), принадлежащих области A2.
Процесс затем снова повторяется, начиная с выражения (6.61)* Выбирается такое значение t2, что
u(s°, t\ r°)<u(s°, t2, r°)<u(s*, Ґ, r°).
Затем доказывается, что при замене tl на t2 выражение (6.67) сохраняет свою справедливость. Далее выражение (6.70) распространяется на все такие пары (s, /), что
u(s*, P9 r°)<u(s, t, r°)^u(s\ і2, г°).
Поскольку принято допущение о непрерывности функции U И о существенности фактора 5 (т. е. функция u(s) не является константой, a b(t, г) — положительно), то, повторив этот процесс при все более предпочтительных значениях t на каждой итерации, в конце концов, получим, что
u(s,f, r)=u(r)+b(r)u(s, t*).
Поэтому для любой пары (s, t), такой, что для некоторого значения s'
u(s, i, r°)=u(s', t*, r0),
можно получить выражение для независимости по полезности, аналогичное выражению (6.70). Более формально, определим
h=m'm[u(s*, t, г)—u(s°, t, г)].
Тогда из выражения (6.54) следует
h=m'm[b(t, г)]
t,r
и эта величина положительна. Далее при выборе последователь-
306
иости P9 t2, ... положим th+1 = t*9 если th таково, что u(s°9 t*9 г°)<. <u(s*f tk9 r°). В противном случае выберем th+l таким, чтобы
u(s°9 tk+\ r°)=u(s°9 t\ r°)+h/2.
Поскольку значение функции u(s°9 t*9 r°) по определению должно быть меньше 1, то последовательность tl, t2t t* будет состоять максимум из 1/(Л/2) = 2/h членов.
Объединяя ©се выражения, аналогичные (6.60), (6.70), и действуя далее, точно так же, как мы действовали при определении области Ai, нетрудно показать, что
u(s9 t9 r)=u(r)+b(r)u(s9 t)9Vs9f9r. (6.71)
Что и требовалось доказать.
6.8. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ УСЛОВИЯМИ НЕЗАВИСИМОСТИ ПО ПОЛЕЗНОСТИ
Рассмотрим некоторые следствия из различных наборов условий независимости по полезности. Говоря более конкретно, предметом изучения будет получение условий независимости по полезности высших порядков из условий более низкого порядка. Результаты, включенные в этот параграф, необходимы для доказательства общих теорем, представленных в последующих параграфах. Здесь рассматриваются следствия из двух перекрывающихся условий независимости по полезности.
Определение. Пусть Yi и Y2 являются подмножествами множества факторов X=(Xi9 X29 Xn}. Факторы Yi и Y2 называются перекрывающимися, если их пересечение не пусто и если ни один из них не содержит в себе другой.
