Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
п
U(x) =k0U0(Xo) + [w(Xo, X0*)— U(x0i Х0°) ] \bJkiUi (Xi) ],
(6.89)
либо
1 n
u(x)=koUo(xo) + [u(x0t X0*)— u(x0y X00)] [— {[П [1 +
k f=i
)+Мат(х{)]]-^1}1 (6.90)
что и требовалось доказать.
6.10.2. Обобщение полилинейной функции полезности. Выражения (6.89) и (6.90) представляют собой такие формы функции полезности, которые связаны с наличием одной максимальной независимой по полезности цепи. Однако в некоторых «случаях на одном и том же .множестве факторов может существовать и несколько максимальных независимых іпо полезности цепей. Например, пусть множество X разбито на {Zo, Zb Z2} їй предположим, что Zi не зависит по (полезности от Z*, і= 1, 2. То есть Zi и Z2 образуют максимальные независимые по полезности цепи. Для случая, когда существует несколько таких .максимальных цепей, используя допущение о независимости по полезности для неперекрывающихся факторов, 'можно установить соответствующий функциональный вед функций полезности. С этой іцелью сформулируем следующую теорему.
*) Процедуры нахождения точного значения k приведены в приложении 6Б.
316
Теорема 6.10. Пусть множество X= {Хи X29 Xn} разбито на подмножества {Zq9 Zi, ZM), где каждое Zm9 m=l, 2, M9 является независимым по полезности. Тогда функция полезности и(х) может быть представлена в виде
u(x)=g[z0) Ui(Z1), U2(Z2),..., Um(Zm)], (6.91)
<где Um, m=l, 2, M9 — функция полезности для Z7n. Частным случаем является следующий вид функции полезности:
м , м
U(X)=U(Z0)+ S fm (Z0) Um (zm) + 2 fmj (Zq) Um (Zm) Щ (Z$) +
/71=1 171= 1
m<j<M
+ ... +!(Zq)Ui(Zx) ... Um(Zm)9 (6.92)
где
U(Zq)=U(Z09 Z*m, ^Om)—u(z0, Z°m, Z°0m), (6.93a)
fmj(Zo) = U(Zo, Zm*, Zj*, Z°omj)—U(Zq, Zm*, Z°j, 2?Qmj) —
—U (Zq9 Z°m, Zf9 Z°0mj) +u(z0, Z°m, Z°h Z°Qmj) , (6.936)
_ M Af _
f (Z0) = U(Z0t Zl) — 2 U(Z09 Z°m, ZlJ + ? U(Z09 Z°mJ 2$, Z^ }) —
m=l m=l
m<j<M
- ?"(?, <, *r h> ?0mJi) + - + (-l)M»(*o, z\,...9 z9M). (6.93b);
m=l m</<Af j<k<M
Теорема 6.10 представляет естественное расширение полилинейной функции полезности. Отличие заключается в том, что Z0 не предполагается независимым по полезности от своего дополнения.
Одно из важных обстоятельств, касающихся теорем 6.9 и 6.10, связано с возможностью их многократного последовательного использования для упрощения представления многомерных функций полезности. То есть факторы, обозначенные через Xi >в выражениях (6.89) и (6.90) «через Zm в (6.92), могут быть векторными, и соответствующие им компоненты, в свою очередь, могут оказаться также независимыми по полезности. Если это так, то, конечно, для определения соответствующих функций полезности Ui(Xi) в выражениях (6.89) и (6.90) или um(zm) в (6.92) снова можно использовать теоремы 6.9 и 6.10. Предлагаемый ниже пример позволяет .проиллюстрировать сказанное и пояснить данные выше определения.
Пример 6.5. Предположим, ,нужно построить функцию полезности для множества факторов Х=={Хи X2, X9}. Кроме того,
317
предположим, что ранее была установлена независимость по полезности Yj от Yj1 /=1, 2/6, где
Yi = (X2, X3}, Y2=(X4, X5, X6}, Y3=(X5},
Y4=(X5, X6, X7, X8}, Y5=(X8}, Y6=(X8, X9}.
Согласно нашему определению в X существует две максимальные независимые по полезности цепи: (Yi} и (Y2, Y4, Y6}. Факторы Y3 и Y5 не принадлежат второй цепи, так как пересечение Y3 f) Yj для /=2, 4, 6 равно либо самому Y3, либо пустому множеству. То же самое справедливо и для фактора Y5. Поэтому, согласно определению независимой по полезности цепи, факторы Y3 и Y5 будут исключены. Таким образом, можно положить Zi = Y1 и Z2=Y2(J Y4 U U Y6H, используя выражение (6.92), получить
U(X)=U(Z0) + fі (Z0) U1(Z1)+U (Z0) U2 (Z2) + /12(Z0) Ui(Z1)U2(Z2),
(6.94)
где функции и, Ui и U2 шкалированы от 0 до 1.
Ясно, что в Yi входит только один элемент (X2, X3} тогда как в (Y2, Y4, Y6} имеется пять элементов: X4, (X5, X6}, X7, X8, X9. Для последующего определения функции u2(z2) можно вновь использовать теорему 6.9. Для этого в выражениях (6.89) и (6.90) положим лг0=л:0о. Тогда и0(х0)=0 и со(х0) =>1 и либр
U2(Z2) =kAu'i(xA) +A56^56(AT5, X6) +k7u'7(x7) +kSu's(x8) +
+ k9u'9(x9), (6.95)
либо
M2(Z2) = ± {[ п [V+kkiuU(xi))]-l}) (6.96Ї
где T= (4, (5, 6), 7, 8, 9}.
Рассматривая отдельно факторы (X5, X6}, можно установить еще одну независимую по полезности цепь, а именно Y3=(X5}. Тогда согласно теореме 6.10
и'ъе(*5, хв) = и'е(X6) +fS(Xe)U^(X5). (6.97)
Это выражение можно подставить в выражения (6.95) или (6.96). Исходное допущение о независимости по полезности фактора Y5 от Y5 избыточно для настоящей задачи, поскольку Y5=(X8} является элементом максимальной независимой по полезности цепи (Y2, Y4, Y6}, а из теоремы 6.8 следует, что каждый элемент такой цепи не зависит по полезности от своего дополнения. Объединение выражений (6.94) — (6.97) позволяет настолько полно декомпозировать функцию полезности и (х), насколько это возможно в соответствии с установленными допущениями.
6.10.3. Частные виды полилинейной функции полезности. Как и следовало ожидать, можно предложить различные виды допущений, которые являются более сильными, чем допущения о независимости по полезности в теореме 6.3, и в то же время более слабыми, чем допущение о взаимной независимости в теореме 6.1.
