Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 6.12. Если факторы Yi и Y2 условно независимы по полезности друг от друга при заданном значении #°3, то
"(Уъ У°г) = и(уи у\ У°з)+и(у°и Уъ У°г) + + ku(yu y°2i y°z)u(y°i, y2t у°з),
где и(у°ь у°2, у°3)=0, a k — эмпирически оцениваемая константа.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2.
Кроме результатов, полностью аналогичных тем, которые получены при использовании независимости по полезности, можно
327
доказать некоторые дополнительные утверждения, например следующее.
Теорема 6.13. Если Yx и Y2 условно независимы по полезности друг от друга при заданном У3, то функция и(ух, У2> Уъ) может быть определена с помощью функций их(ух, у°2, y3)f U2(y°u У2, Уъ) и иг(у*ь y*2i уъ), построеннных для произвольных значений у°и у* и у°2, у*2 при условии, что для функций щ используются согласованные шкалы.
Это утверждение позволяет определить функцию полезности для трех факторов с помощью трех условных функций полезности, одна из которых зависит от одного фактора, а две — от двух факторов. Смысл теоремы 6.13 иллюстрируется рис. 6.6, где принято, что Y\, Y2 и Уз являются скалярными факторами. Последствия, предпочтительность которых должна быть квантифици-рована, на рисунке выделены. Предположим, что желатель-
РИС. *6;6.
Иллюстрация доказательства теоремы 6ЛЗ
но найти значение полезности произвольной точки (у'х, у'2, у'ъ) (точка А на рис. 6.6). Поскольку фактор Yx условно не зависит от полезности от Y2 при заданном у\, значение полезности точки А может быть выражена через полезности точек В и С. Действительно, предпочтения для последствий А, В и С такие же, как и для последствий А', В' и С\ а относительные предпочтения для А\ В' и С известны. Полезность точки С также известна, но полезность точки В еще нужно найти. Однако, так как фактор Y2 условно не зависит по полезности от Y\ при заданном у'ъ, полезность последствия В может быть выражена через полезность последствий В' и D. В самом деле, относительные предпочтения для последствий Bf, В и D такие же, как и для последствий С, С и D', а относительные предпочтения для этих последствий известны. Полезности последствий В' и D суть известные величины, поэтому можно вычислить полезность последствия В и, таким образом, найти полезность произвольного последствия Л.
Приведем еще один результат, который характеризует целесообразность использования понятия условной независимости при установлении структуры функции полезности.
Теорема 6.14. Пусть факторы Yx и Y2 условно аддитивно независимы при заданном значении Уз, тогда
и(уи У2, Уъ)=и(ух, у°2, уъ)+и(у°х, у2, уъ)—
-и(у°и У°2, Уг), (6.114)
где u(y°i, у%у°г)=0. 328
Доказательство этого утверждения очень похоже на доказательство теоремы 5.1. Этот результат позволяет определить функцию полезности для трех факторов с помощью двух двумерных функций полезности с согласованными шкалами измерений. Если Yu Y2 и У3 являются скалярными факторами, то из выражения (6.114) следует, что для полного определения функции и необходимо найти лишь значения функции полезности на двух заштрихованных плоскостях, показанных на рис. 6.6.
6.11.3. Необходимые условия для независимости. В этом пункте обсуждается второй аспект целесообразности использования допущений об условной независимости. Обсуждаемые здесь положения аналитически весьма просты, но удобны в практических задачах. Именно поэтому они и были включены в настоящий пункт. В некоторых ситуациях может оказаться очень затруднительным выяснение вопроса о том, является ли фактор Y\ независимым по полезности от {У2, Уз} или нет. Однако можно установить значение фактора Уз на определенном уровне и проверить относительную предпочтительность последствий, различающихся значениями Yx для различных значений Y2 при заданном у+3. Если при этом окажется, что относительные предпочтения для таких последствий не остаются неизменными, тогда очевидно, что относительные предпочтения для последствий, различающихся значениями Yu не могут быть одинаковыми для всех пар (у2, у$). Таким образом, фактор Yx не может быть независимым по полезности от {Y2, Уз}. Это заключение формализовано в следующей простой теореме.
Теорема 6.15. Необходимым условием независимости по полез-ности Yx от {Y2, У3} является условная независимость, по полез-' ности Yi от Y2 при заданном Уз.
В том же ключе сформулируем еще одну теорему, которая представлена без доказательства.
Теорема 6.16. Необходимым условием аддитивной независимости Yu Y2 и У3 является условная аддитивная независимость , Yx и Y2 при заданном У3.
6.11.4. Достаточные условия для независимости. Третий аспект возможного использования условной независимости по полезности определяется тем, что это допущение обеспечивает основу для формирования достаточных наборов допущений о свойствах независимости предпочтений. Благодаря этому проверка возможности использования определенных функциональных видов функции полезности в конкретных задачах требует меньшего объема эмпирической информации.
Теорема 6.17. Если фактор Yx условно не зависит по полезности от Y2 при фиксированном У3 и от У3 при фиксированном у+2, то Yx не зависит по полезности от {Y2, У3}.
