Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 6.4. Факторы и меры эффективности для задачи о ремнях безопасности
Фактор Мера эффективности
Xi — гибель автомобилистов ВЗНЫе тРав^" автомо-билистов Xs — денежные затраты автомобилистов Xi — денежные затраты штата Количество человеческих жертв на высокоскоростных дорогах штата за год Количество серьезных травм на высокоскоростных дорогах штата за год Стоимость установки ремней безопасности в автомобиле, дол. Годовая стоимость проведения программы, дол.
торые 'будут использованы для каждого из факторов. Для иллюстрации иерархической структуры факторов удобно использовать рис. 6.7.
Следующим интересующим нас здесь этапом анализа является построение функции полезности и(х). Очевидно, что функцию и(х) можно представить в виде и(уи у2) или и(хи х2, Xz, х4). Начать структуризацию функции и целесообразно с проверки допущения об аддитивной независимости, обсуждавшегося в § 5.3. Сначала необходимо проверить, справедливо ли это допущение для факторов Yx и Y2. Предположим, что оно оказалось несправедливым. Но при этом выяснилось, что фактор Yi не зависит по предпочтению от Y2, а фактор Xi не зависит по полезности от {X2, Y2}. Тогда согласно теореме 6.6 фактор Yi не зависит по полезности от Y2. Предположим также, что была установлена неза-
332
висимость по полезности фактора Y2 от Yu Поэтому из теоремы 5.2 следует
и(Уи У2)=и{уи У°2)+и(у°и У2)+ки(уи У°2)и(у°и у2),
(6.128)
где и(у\ У°2)=0.
Y1^ фи вместе щрадмо/
X
Хг=серьевте
towme/ffpa-1{UC/ штата
Рис. 6.7. Иерархическая структура факторов в задаче о ремнях безопасности
^1H а \ автотранспорте
Однако желательно пойти еще дальше и, если возможно, упростить как функцию и(у\, у°2), так и и(у°и Уг). Для этого предположим, что проверка установила справедливость допущения об условной взаимной независимости по полезности факторов X1 и X2 при заданном у°2. Поскольку Х\ не зависит по полезности от {X2, Y2}, то для Xi это было уже известно. Из теоремы 6.12 следует, что
и(Уи У°2) =и(хи х2, у°2) =и(хи х°2, у°2) +'u(x°u х2, у°2у+
+ ku(xu х°2, у°2)и(х°и х2, у°2), (6.129)
где начало отсчета функции и по-прежнему задается равенством и(у°\, У°2)=и(х°и х°2, у°2)=0. Заметим, что шкала для измерения функции и пока не конкретизирована.
Теперь перейдем к функции и(у°\, У2), которую представим в виде и(у°и xz, X4). Предположим, после проверки удалось сделать заключение о том, что лишь X4 условно независим по полезности от X3 при заданном у°\. Это означает, что в соответствии с утверждением, аналогичным теореме 5.6 из § 5.6, справедливо следующее выражение:
U(Itи *з, X4) =и(у°и хг, х°А) [1—и(у°и х%, X4)] +
+ и(у°и X3, х\)и(у°иу\, х4), (6.130)
где начало отсчета и шкала измерения функции по-прежнему задаются равенствами и(у°\, х\ х°4) =0, и(у°и х\ х'4)<= 1.
Все три функции полезности (6.128), (6.129) и (6.130) имеют одинаковое начало отсчета, а шкала измерения установлена лишь для функции (6.130). Поэтому можно непосредственно подставить (6.129) и (6.130) в (6.128) и благодаря этому выразить и(хи х2, хг, X4) через и(хи х°2, х\ х°4), и(х°и х2, х\ х°4),
333
и(х°и х\ х3, х°А), и(х°их\ х\ лг4), и(х°и х°2, хъ, х\), k и ки при этом начало отсчета и шкала измерения функции и устанавливается равенствами
и(х°и х°2, х°ъ, хА)=0 и и(х°и х°2, х°ъ, х'а) = 1
соответственно. Таким образом, использование условий независимости и условной независимости позволило в этом примере свести оценку функции полезности для четырех факторов к согласованной оценке пяти функций полезности, каждая из которых зависит только от одного фактора и двух дополнительных шкалирующих констант. Это значит, что в целом необходимо найти значения семи шкалирующих констант — но одной константе для определения значения каждой из условных функций полезности во второй точке (первой точкой для них является общая начальная точка — точка начала отсчета), плюс k и A1.
6.12. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной главе получены теоремы представления функции полезности лица, принимающего решение, при различных наборах допущений о его основных предпочтениях. Для различных допущений была исследована их взаимосвязь. Это исследование преследовало две Цели: 1) ослабить допущения, выполнение которых необходимо для установления конкретных функциональных видов функции полезности, и 2) постараться выяснить и полностью использовать все следствия, которые могут быть выведены из допущений о предпочтениях. Упрощенный перечень результатов гл. 3, 5 и 6 представлен в табл. 6.5.
В процессе обобщения результатов гл. 5 для двумерных функций полезности на случай «большего числа факторов выявилось одно обстоятельство. При трех и более факторах обилие возможных наборов допущений о независимости по предпочтению и по полезности резко возрастает по двум причинам: 1) из-за возможности введения условий независимости на перекрывающихся множествах факторов и 2) из-за возможности использования допущений об условной независимости по предпочтению и по полезности. Полученные результаты хорошо иллюстрируют это обилие.
В большинстве реальных задач следует ожидать, что процедуры, представленные в гл. 3—6, в совокупности окажут значительную помощь в установлении «разумного» представления предпочтений лица, принимающего решение. Однако это возможно лишь при условии, что структуризация задачи проводится на основе содержательного анализа целей и факторов, на что уже было нами указано в гл. 2. Результаты, полученные рядом авторов (Инте-мой и Торгенсоном (1961), Фишером (1972, 1973), фон Винтер-фельдтом и Эдвардсом (1973а, 1973b), Довсом и Корриганом (1974) и др.), свидетельствуют в пользу этого утверждения. Примеры, рассматриваемые в гл. 7 и 8, также подтверждают эту точку зрения.
