Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
/(<?) = 1+<7—Ъ (1+?г<7), — \<q<oo. (6Б.5)
Если k удовлетворяет выражению (6Б.1), то f(k)=0; отметим также, что /(—1)<0. Дифференцируя выражение (6Б.5), получаем
1— /'=2?іП (6Б.6)
Отсюда следует, что функция 1—/' является возрастающей и, следовательно, функция /' убывающая.
Положим S = I. Тогда /'(0)=0. Далее, поскольку функция /' является убывающей на интервале (—1, оо), она положительна на интервале (—1, 0) и отрицательна на интервале (0, оо). Таким образом, q=0 — единственный корень уравнения f(q)=0 на интервале (—1, оо), и поэтому из условия S=I следует &=0. Это соответствует только аддитивной функции полезности.
Теперь предположим, что S<1, т. е. /'(0)>0. Поскольку функция /' является убывающей, она положительна ,на интервале 0). Поэтому уравнение /(#)=0 не имеет корней между (—1) и корнем в 0. Из выражения (6Б.6) следует, что /'(оо)=—оо и уравнение /'(<?) =0 имеет единственный корень q* на интервале (0, оо). Поскольку /(O)=O и /'>0 на интервале (0, q*)y то уравнение Kq)=O не имеет корней на данном интервале. Так как f(q*)>0 и /' отрицательна и убывает до —оо на интервале (q*y оо), уравнение f(q) = 0 имеет единственный корень k на этом интервале. Более того, />0 на интервале (0, k) и f<0 на интервале (fc, оо), поэтому при условии, что поиск k ограничен интервалом (0, оо), можно применить итеративный метод, описанный в этой книге.
Наконец, предположим, что S>1, т. е. /'(0)<0. Поскольку /' является убывающей, она отрицательна на интервале (0, оо). Поэтому уравнение /(<7) = = 0 не может иметь корней справа от корня #=0. Так как непосредственно левее этого корня />0, в то время, как /(—1)<0 на интервале (—1, 0), должен существовать по крайней мере один корень k уравнения f(q)=0. Поскольку /' является убывающей и /(O)=O, таких корней будет максимум один и тіри условии, что поиск k ограничен интервалом (—1, 0), можно применить описанный нами итеративный метод.
ПРИЛОЖЕНИЕ 6В ПРОГРАММА ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭВМ В ИНТЕРАКТИВНЫХ ПРОЦЕДУРАХ НАХОЖДЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ*)
В § 6.6 обсуждались и иллюстрировались некоторые положения, необходимые для построения многомерных функций полезности. Эта задача является
*> Это приложение является адаптацией работы Кини и Зихермана (1976). В § 9.7 обсуждается аналогичная программа, предназначенная для реализации интерактивной процедуры, которая разработана для исследования замещений на выделенных временных интервалах.
338
весьма сложной. Проведение такого построения на основе эмпирических данных без непосредственного привлечения вычислительной техники наталкивается на значительные трудности. Наиболее значительными из них являются следующие:
1. Необходимость проведения опроса лица, принимающего решение, относительно «экстремальных значений» для обеспечения возможности вычислений значений функции полезности для неэкстремальных значений факторов.
2. Трудоемкость вычисления составляющих функции полезности и шкалирующих констант даже и в этом случае.
3. Отсутствие быстрой обратной связи с лицом, принимающим решение, для обсуждения следствий из его предпочтений.
4. Отсутствие эффективной процедуры для «корректировки» предпочтений лица, принимающего решение, и проведения анализа чувствительности.
В данном приложении кратко описаны основные черты пакета программ, предназначенного для преодоления указанных трудностей, на основе использования существующих методов построения и применения многомерных функций полезности. Пакет программ имеет мнемоническое обозначение MUFCAP (multiattribute utility function calculation and assessment package), т. е. «пакет для вычислений и построения многомерных функций полезности». В настоящее время некоторые подпрограммы пакета еще не доработаны. Однако этот пакет уже используется практически. Накопленный опыт работы с ним указывает целесообразное направление дальнейших разработок в этой области.
В дальнейшем будет предполагаться, что допущения, обусловливающие существование аддитивной или мультипликативной функции полезности, уже проверены и подтверждены. Кроме того, поскольку процедуры оценки основных компонент Ui и ki как аддитивной, так и мультипликативной функций полезности в сущности одинаковы, нет необходимости рассматривать эти два случая отдельно. Напомним, что значение дополнительной константы k в мультипликативной функции полезности вычисляется непосредственно на основе значений ki. Мультипликативная функция, например, будет попользоваться как для общей функции полезности м, так и для любой вложенной функции полезности. Пакет программ MUFCAP будет кратко охарактеризован ниже. Подробности и сами программы содержатся в работе Зихермана (1975). Под аббревиатурой MUF понимается многомерная функция полезности мультипликативного или аддитивного вида (multiattiattribute utility function).
Программа для структуризации функции полезности
Структуризация функции полезности состоит^ в установлении функционального вида функции, конкретизации ее факторов и их областей изменения. Для работы MUFCAP требуется задать название функции полезности и число факторов, которые являются аргументами этой функции. После этого требуется указать название и область изменения скалярных факторов. Для векторных факторов должно быть задано количество компонент, которые являются аргументами этой вложенной MUF. Для каждого из них нужно указать название и область изменения. При необходимости можно задать и последующие уровни вложения. Требуемая при этом информация аналогична указанной выше.
