Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Эти определения, а также и определения, содержащиеся в пп. 58 и 60, иллюстрируются следующими примерами.
Примеры XXIV. Рассмотреть поведение при п стремящемся к о© следующих функций:
1. (-1)», 5 + 3(-1)», 10°° 000+ (-!)"> 1 000 000(-If + - .
2. (— If п, 1 000 000 + (— 1)" п.
3. 1 000 000 — и, (— 1Y (1 000 000 — и).
128
Глава четбертая
4. я {1 4- (— '*)"}¦ В этом случае значениями ср (я) являются
О, 4, О, 8, О, 12, О, 16,... .
Нечетные члены все равны О, а четные стремятся к +°°! 4>(и) колеблется неограниченно.
о. n2-f-(—If 2я. Второе слагаемое колеблется неограниченно, но первое значительно больше второго при больших я. Действительно, <р(я):>: я2 —2я, а и2 — 2я = (я—1)2 — 1 больше чем любое заданное значение Д, если п > 1 4- + 1- Следовательно, <р(и)—> 4-°°- Следует заметить, что в этом случае ^ (2ft 4* U всегда меньше чем ср (2k), так что функция стремится к бесконечности, то возрастая, то убывая. Однако она не колеблется, в смысле данного нами определения этого понятия.
6. я2 {1 4- (— If}; (— If л2 4- я; Я3 4- (— If и2.
7. sin я Qr., Мы уже видели (примеры XXIII. 9), что <р (я) ограниченно колеблется, если б рационально, но не равно целому числу; в этом последнем случае <р(я) = 0 и <в(и) — 0.
Случай иррационального 9 несколько более сложен, но мы все же сможем доказать, что «р (я) ограниченно колеблется. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что 0<9<1.
Во-первых, так как [ <р (л) | < 1, <р (я) либо ограниченно колеблется, либо стремится к пределу.
Но если бы sin Я 0k-^/, TO
2 cos (я 4-у) 9« • sin — Єя = sin (и 4-1)9" — sin я 9 я—> О
и, следовательно, cos + 9л—»0. Отсюда следовало бы, что
где Rn — целое число и ?„ —. О, а отсюда
6 = К — К — і 4" ч — ч -1 = Ч + %>
где /„ — целое число и i\n—»0. Это же, очевидно, невозможно, так как 6 — постоянная и заключена между 0 и 1.
Доказать подобным же образом, что cosn8~ ограниченно колеблется, если 6 не является четным целым числом.
8. Если 6 — нецелое, невозможно, чтобы sin я 9* и cosnBn были бы почти равны для всех больших я то одному, то другому из двух значений а и Ъ. [Это можно показать рассуждениями, аналогичными, но несколько более сложными, чем приведенные в примере 7.]
9. sin п Ьк 4- я, sin я 0- 4™ > (—1)" sin я в г..
10. a cos пЬт:-\-b sin пЬт., sin8n9-, acossnd- 4-#sin2n6jr.
11. Я sin я в;:. Если в—целое, то в (я) = 0, у(п)-+0. Если же в — рациональное, но не целое число, или иррациональное, то <р (я) неограниченно колеблется.
12. я (u cos2 п 4* Ь sin2 Tt 9ії). В этом случае у(п) стремится к ¦f оо, если а и b оба положительны, и к —оо, если оба они отрицательны. Рассмотреть частные случаи а = 0, b>0; а >0, Ь = 0; а—о, Ь = 0. Если а и b имеют разные знаки, то <р (я), вообще говоря, неограниченно колеблется. Установить и рассмотреть исключительные случаи.
Пределы функций от целочисленного переменного
13. sinnlOn. Если 8 имеет рациональное значение , то п\6 заведомо
целочисленно для всех значений п, больших или равных q. Следовательно, о(п)—*0. Случай, когда 8 иррационально, требует для своего рассмотрения значительно более сложных вспомогательных средств.
14. an — [Ьп], (—\)п{ап—[Ьп\).
15. Наименьший простой делитель п. Когда п—простое число, ср(я)=я. Когда п—четное число, ср(п) = 2. Следовательно, <р(я) неограниченно колеблется.
16. Наибольший простой делитель п.
17. Число дней в п-ом году н. э.
Примеры XXV. 1. Если ср (я) — -|- со и <Ь (и) ^ ср (я) для всех значений п, то 4 (и)+ оо.
2. Если ср(я)—0 и |<[» (и) I ig I ср (я) j для всех значений п, то Ъ(п)— 0.
3. Если lim [ср (и) і =0, то Нтср(я) = 0.
4. Если ср (я) стремится к пределу или ограниченно колеблется и | i> (я) | ^ =g: [ ср (я) I для п ^ щ, то іі (я) стремится к пределу или ограниченно колеблется.
5. Если ср(и) стремиїся к -4-00 или к —со, или неограниченно колеблется и № (и) I I 9 (и) I Для и ио> то <Ь (и) стремится к + оо или к — оо или неограниченно колеблется.
6. «Если ср (п) колеблется и, как бы велико ни было п0, мы можем иайти значения я, большие п0, для которых <i (я)< ср (и), и значения я, большие я0, для которых 4* {п)> ср (и), то <1 (и) колеблется". Справедливо ли это предложение? Если нет, привести противоречащий пример.
7. Если ср(и) — I при я — оо, то также и ср (и 4-р) /, где р — любое фиксированное целое число. [Это следует непосредственно из определения. Аналогично мы заключаем, что если ср(я) стремится к -{-со или к —оэ или колеблется, то ср(и-)-р) ведет себя таким же образом.]
8. Те же заключения остаются в силе (кроме случая, когда ср (я) колеблется), если р изменяется вместе с п, но остается по модулю меньше фиксированного положительного числа N; или же если р изменяется с п каким угодно образом, но остается всегда положительным.
9. Определить наименьшее значение я0, для которого
(а) яг + 2п > 999 999 (и ^ я0); (Ь) я2 4- 2я > 1 ООО ООО (и ^ я0).
10. Определить наименьшее значение я0, для которого
(а) я 4- (— Vf > 1 ООО (п «о); (Ь) и 4- (— 1)" > 1 ООО ООО (и и0).
