Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Однако мы должны еще раз подчеркнуть, что во всех этих утверждениях символы со, -f-co> ¦—со сами по себе ничего не означают и приобретают определенный смысл только в том случае, когда они встречаются в определенном контексте, и тогда их смысл определен приведенными выше разъяснениями.
58. Определение предела. После всех проведенных рассмотрений читатель должен быть в состоянии усвоить общее понятие предела. Грубо говоря, со («) стремится к пределу I при п—>-со, если ер (и) почти равно I, когда п велико. Но хотя смысл этого утверждения должен быть уже достаточно ясен после всего сказанного выше, все же он не является еще, в том виде, в котором мы его сформулировали, достаточно точным для строгого математического определения. Фактически приведенное утверждение эквивалентно целому классу утверждений типа „для достаточно больших значений п ер («) отличается от I меньше чем на 8". Это утверждение должно иметь место для 8 = 0,001 или 0,0001, или для любого положительного числа, причем для каждого такого значения 8 оно должно иметь место для всех значений п, начиная с некоторого определенного значения «0 (8), хотя чем меньше значение 8, тем больше, как правило, будет соответствующее значение п0 (8).
Таким образом, мы можем теперь сформулировать следующее окончательное определение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Функция ер («) стремится к пределу I при п стремящемся к со, если, как бы мало ни было положительное число 8, ер («) отличается от I меньше чем на 8 для достаточно больших значений п; это означает, что как бы мало ни было положительное число Ь, мы можем найти такое число п0 (8), соответствующее этому 8, что ер («) отличается от I меньше чем на 8 для всех значений п, больших или равных п0 (8).
Положительную разность между ер(«) и / принято обозначать через I ср (/г)—Она равна положительному из двух чисел ер(«) — /, I — со (я) и совпадает с определением .модуля ер (/г) — /, данным в гл. III, хотя в настоящий момент мы рассматриваем только действительные, положительные или отрицательные, значения.
122
Глава четвертая
Применяя это обозначение, мы можем сформулировать наше определение короче следующим образом: если дано любое как угодно малое положительное число Ь, и можно указать такое «0 (8), что |ср(«) — /|<^8 для п^п0(8), то говорят, что ф(«) стремится к пределу I при п стремящемся к оо, и пишут
Hm 9 («) = /.
л-»оо
Иногда мы будем опускать „«—»Co"; для краткости иногда удобно писать также <р (и) — /.
Читателю будет полезно подсчитать в некоторых простых случаях явное выражение п0 как функции от 8. Так, если <р(и)= — , / = 0, и условие сво-
дится к < В для Yi
:п0, что удовлетворяется, если n„=l-f-
и:'
-yl-i
Фиг. 24
Существует один и только один случай, когда одно и то же п0 годно для всех значений 8. Если, начиная с некоторого значения ЛГ, для всех значений п <р(я) постоянна, скажем, равна С, то очевидно, что <р(я) — C = O для n^N, так что неравенство | <р (и) — С | < 8 удовлетворяется для п ЛГ и всех положительных значений §. С другой стороны, если |<р(я) — 1\<.Ь для n^SzN и всех положительных значений 8, то очевидно, что <р(п) = /для п^Э=ЛГ, так что <р (и) постоянна для всех таких значений п.
59. Определение предела может быть геометрически проиллюстрировано следующим образом. График ср(«) состоит из ряда точек, соответствующих значениям « = 1, 2, 3.....
Проведем прямую у = / (фиг. 24) и параллельные ей прямые .у = /—8, _у = /-)-8 на расстояниях 8 от нее. Тогда
Hm ф («) =
л -* OO
если, после того, как эти прямые проведены, мы можем провести прямую х = п0 (подобно проведенной на фиг. 24) так, что точка графика, лежащая на этой прямой, и все точки справа от нее будут
') Здесь и в дальнейшем мы применяем символ [л:] в смысле гл. II, т, е, для обозначения наибольшего целого числа, не превосходящего лг,
Пределы, функций от целочисленного переменного
123
лежать между ними. Мы увидим, что это геометрическое толкование нашего определения особенно полезно при рассмотрении функций, определенных для всех значений действительного переменного, а не только для положительных целочисленных значений.
60. Сказанного выше достаточно для функций от я стремящихся к пределу при «—vcx). Мы должны теперь перейти к соответствующим определениям для функций, которые, как я2 или — я2, стремятся к положительной или отрицательной бесконечности. Следующее определение не должно теперь вызвать у читателя никаких затруднений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ II. Функция 9 (я) стремится к -j-oo (положительной бесконечности) вместе с п, если, как бы велико ни было заданное число А, можно указать такое пй(А), что ср(«)^>Д для всех н^па(А); это означает, что, как бы велико ни было Д, ср(«)^>Д для достаточно больших значений п.
Вот другая менее точная формулировка: „если мы можем сделать ер (я) как угодно большой для достаточно больших, п". Эта формулировка недостаточно подчеркивает основной пункт определения, а именно, что «р (я) должно быть больше чем Д для всех значений п таких, что я^я0(Д), а не только для некоторых таких значений. Но мы можем применять и эту форму выражения, если мы отдаем себе ясный отчет в том, что оно означает.
