Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Читателю полезно для себя записать, даже в этих простых случаях, формальное доказательство того, что условия наших определений выполнены. Возьмем, например, случай k>0. Пусть Д —любое заданное потожитель-ноа число. Мы должны иайти такое п0, что Ф > Д при я 5г я0. Для этого доста-
к
точно взять я0 большим, чем у Д. Так, например, если k = 4, то п* > 10 000, если я^аН, я4 > 100 ООО ООО, если я^=Ю1 и т. д.
2. ч>(п) = рп, где рп есть я-ое простое число. Если бы существовало только конечное число простых чисел, то ср(я) была бы определена только для конечного числа значений я. Существует, однако, как впервые было доказано Эвклидом, бесконечно много простых чисел. Доказательство Эвклида ведется следующим образом. Пусть 2,3,5,..., pN— первые ЛГ простых чисел, и пусть P =(2, 3, 5,... , р^)+ 1. Тогда P ие делится ии иа одно из простых чисел 2, 3, 5. ...,pN. Следовательно, либо P — само простое, либо делится иа простое число, большее pN. В обоих случаях существует, следовательно, простое число, большее pN, а, значит, и бесконечно много простых чисел.
126 Глава четвертий
и т. Д.", следовательно, <р(я)—»+оо.
_ „ , ч 1 ООО ООО , . „ , , ч я
5. Если <р (я) =--—, то hm ? (я) = 0; а если Л (^) = TWO-OUS ' Т°
4>(я)—»-f-oo. На эти заключения никоим образом не влияет то обстоятельство, что tp (я) для я< 1 000 ООО больше чем <1< (я).
6. ср(я)= _ /_Тш > я —(— "(1 — (— !)"}• Первая функция стре-
я ( 1)
мится к 0, вторая — к -{-со, а третья не стремится ни к конечному пределу, ни к -j- оо.
7. а (я) = -п "в" где Q — любое действительное число. Здесь
' я '
I tp (я) I < — t так как | sin я От: J =g 1, и Hm tp (я) = 0.
о , . sin я От: (a cosa я б + o sina я 9) , „
8. ср (я) =-—— или і-1--'- где а и й —любые дей-
Y я я
сгвительные числа.
9. tp (я) = sin я От:. Если 8 — целое число, то ср(я) = 0 для всех значений Я и, следовательно, limtp(rc) = 0.
Пусть, далее, 8 рационально, 8 = —, где р и q—положигельныг
целые числа. Пусть я = aq -{- b, где а — частное, а Ъ — остаток от деления п на. q. Тогда
я ' я
Допустим, например, что р — четное; тогда, когда я возрастает от0до<7 — 1, tf(h) принимает значения
„ . от: . 2отг . Iq—1)пя
0, sin — , sin -f—sin —-—— .
Я Я Я
Когда п возрастает от q до 2q — 1, эти значения повторяются; они вновь повторяются, когда я пробегает значения от 2q до 3<7 — 1, от 3<7 до Aq — 1 и т. д. Таким образом, значения tp (я) циклически повторяются и состоят из конечного числа различных значений. Очевидно, что когда имеет место такое положение, tp (я) не может стремиться ни к конечному пределу, ни к 4-со, ни к —со.
Случай, когда б иррационально, несколько более сложен. Он будет рассмотрен в следующем списке примеров.
62. Колеблющиеся функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Когда ер (я) не стремится ни к конечному пределу, ни к -f- оо, ни к — со при п стремящемся к со, мы говорим, что ер (я) колеблется при п стремящемся к со.
Функция ср (я) наверно колеблется, если, как в последнем из рассмотренных примеров, ее значения образуют циклически повторяющуюся систему из конечного числа различных чисел; но, конечно,
Так как ср(я)>«, то о(я)-^оо.
3. Пусть tp (и) обозначает число простых чисел, меньших чем я. Тогда © (я) —> -{- со,
4. ср(я)=[ая], где а — любое положительное число. Здесь
<р(п) = 0 (о«?я< ~) , 4(n) = l(~^n<~
Пределы функций от целочисленного переменного
127
она может колебаться, и не обладая этим специальным свойством. Определение колеблющейся функции основано на отрицании: функция колеблется, если она не ведет себя некоторым другим образом. Простейшим примером колеблющейся функции является
ф («)=(-1 у,
которая равна -f-1, когда п четно, и —1, когда п нечетно. В этом случае значения повторяются циклически. Но рассмотрим
ф(й)=(_1)» + 1,
значения которой суть
-1 + 1, l + і-, + 1+j, -1 + 1.....
Когда п велико, каждое значение почти равно +1 или —1, и ясно, что ф («) не стремится ни к конечному пределу, ни к + со, ни к
— со, и поэтому колеблется; но ее значения не повторяются циклически. Следует заметить, что в этом случае каждое значение ф(«) по
модулю меньше или равно ~. Аналогично
Ф («) = (-1)" 100+ i^0
колеблется. Когда п велико, каждое значение почти равно 100 или
— 100. Наибольшим по модулю значением является 900 (для «=1). Рассмотрим теперь ф(«) = (—1)"«, значения которой суть —1, 2,
— 3, 4, — 5,... . Эта функция колеблется, так как она не стремится ни к бесконечному пределу, ни к + со, ни — оо; но в этом случае мы не можем указать границы, выше которой модули ее значений не возрастают. Различие между этими двумя примерами приводит нас к следующему дальнейшему определению.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если ф(«) колеблется при п стремящемся к со, то мы будем говорить, что ф(«) колеблется ограниченно или неограниченно, в зависимости от того, существует или нет такое число К, что все значения ф («) по модулю будут меньшими чем К, т. е. I ф («) I <^ К для всех значений п.
