Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
В первую очередь, читатель, вероятно, знаком с понятием класса. Нет необходимости рассматривать здесь какие-либо логические трудности, связанные с понятием класса; грубо говоря, мы можем считать, что класс — это совокупность понятий или предметов, обладающих некоторым свойством, которое может быть простым или сложным. Так, мы имеем классы британских подданных, членов парламента, положительных целых чисел или действительных чисел.
Более того, читатель имеет, вероятно, также и представление о том, что понимается под конечным или бесконечным классом. Так, класс британских подданных—конечный класс: совокупность всех британских подданных, в прошлом, настоящем и будущем, состоит из конечного числа п элементов, хотя мы, конечно, в настоящий момент не в состоянии указать значение этого числа п. С другой стороны, класс британских подданных в настоящий момент состоит из числа элементов, которое мы могли бы установить путем счета, если бы методы переписи были достаточно эффективными.
Класс положительных целых чисел бесконечен. Более точно это можно выразить следующим образом. Если я— любое положительное целое число, как, например, 1 ООО, 1 ООО ООО, или любое другое число, которое мы зададим, то существует более п положительных
Пределы функций onl целочисленного переменного 1ІЗ
целых чисел. Так, если мы задали число 1 ООО ООО, то, очевидно, существует но крайней мере 1 000 001 положительное целое число. Бесконечными являются и классы рациональных или действительных чисел. Это удобно выразить следующими словами: существует бесконечное число положительных целых чисел или рациональных чисел, или действительных чисел. Но читатель должен всегда помнить, что под этим мы понимаем просто то, что число элементов рассматриваемого класса не является конечным числом, как 1 000 или 1 000 000.
53. Свойства, которыми обладает функция от п для больших значений п. Мы можем теперь вернуться к „функциям от п", которые мы рассматривали в пп. 50—51. Они во многом отличаются от функций от х, рассмотренных нами в гл. II. Но имеется один основной момент, общий обоим классам функций: значения переменного, для которых они определены, образуют бесконечный класс. Это обстоятельство лежит в основе всех дальнейших рассмотрений, которые, как мы увидим, переносятся и на функции от х.
Допустим, что ср(й) — любая функция от и и что P—любое свойство, которым ср (л) может обладать или нет, как, например, свойство быть положительным целым числом или быть большим 1. Рассмотрим для каждого из значений и=1, 2, 3, ..., обладает ли 9 (л) свойством P или нет. Могут представиться три случая:
(a) 9 (л) может обладать свойством P для всех значений п или для всех значений п, кроме конечного числа значений;
(b) 9 (п) может не обладать свойством P ни для одного значения п или только для конечного числа N значений;
(c) ни (а), ни (Ь) может не иметь места.
Если имеет место случай (Ь), значения п, для которых 9 (л) обладает данным свойством, образуют конечный класс. В случае (а) значения п, для которых 9 (и) не обладает данным свойством, образуют конечный класс. В третьем случае (с) ни один из этих классов не конечен. Рассмотрим несколько примеров.
(1) Пусть <р (n) = п и P означает Свойство быть положительным целым числом. Тогда <р (п) обладает свойством P для всех значений п.
С другой стороны, если P означает свойство быть положительным целым числом, большим или равным 1 000, то <р (п) обладает этим свойством для всех п, кроме конечного числа значений п, а именно, 1, 2, 3, 999. В обоих случаях имеет место (а).
(2) Если <р (n) = п и P является свойством быть меньше, чем 1 000, то имеет место (Ь).
(3) Если <р(п)=п и P является свойством быть нечетным, то имеет место случай (с). Ибо <р(л) нечетно, если п нечетно, и четно, если п четно, а классы нечетных и четных значений п оба бесконечны.
Примеры. В каждом из последующих примеров установить, какой нз трех случаев (а), (Ь) или (с) имеет место:
(1) tp(n) = n, P — свойство быть точным квадратом;
(2) <р(п)=р„, где рп обозначает n-ое простое число, P — свойство быть нечетным;
8*
116
ҐЛава четйертай
(3) ер («) = /)„, P— свойство быть чгтным;
(4) tp (я) = р„, P — свойство <р(л)>я;
(5) <р (я) = 1 — (— 1)" J-, P — свойство tp (я )< 1;
(6) <р(я)=1—(—l)ni, Р —свойство ср(я)<2;
(7) ер (я) = 1000 {1 +(—1)"} Jp Р —свойство <р(я)<1;
(8) tp (я) = і , Р —свойство tp (я) < 0,001;
(9) tp (я) = (— 1)" і, P — свойство I tp (я) І < 0,001;
(10) tp (я) = 10 , йди (—1)" JjJP-0, р—одно из свойств tp(n)<0,001 или j tp (я) I < 0,001;
(11) 9(я) = ~ру> Р — свойство 1 — tp (я) < 0,0001.
54. Предположим теперь, что утверждение (а) имеет место для рассматриваемых ср (я) и Р, т. е. что 9 (я) обладает свойством Р, если не для всех значений я, то во всяком случае для всех значений, кроме конечного числа этих значений. Обозначим эти исключенные значения через
«и «г>- • • » nN •
Конечно, нет никаких оснований ожидать, что эти N значений будут первыми N значениями 1, 2.....N, хотя, как показывают предыдущие примеры, это часто бывает именно так. Но, так или иначе, мы знаем, что 9 (я) обладает свойством Р, если я^>ядг. Так, я-ое простое число нечетно, если я ^> 2, так как я = 2 является единственным исключением из утверждения;<г^ 0,001, если я ^> 1 000, а первые 1 000 значений я являются исключениями;
