Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
4. Если ф (я) —>- -f- со и ^ (я) неограниченно колеблется, то Ф (я) -\- if (я) может стремиться к -\- со или неограниченно колебаться, но не может стремиться ни к конечному пределу, ни к — со, ни ограниченно колебаться.
9»
І32 Глаёа четёергпйя
Ибо & (л) = {? (л)+у (я)}— <?(л), и если бы ?(л) + і(я) стремилась к пределу или к —оо или ограниченно колебалась, то отсюда следовало бы, по предыдущим результатам, что ф(л)—> — со, тогда как & (п), по предположению, неограниченно колеблется. Примерами двух возможных случаев могут служить: (1) <р(л) = я2, <і(л) = (— 1)" л, (2) <р(л) = л, ^(я) = (— I)" л2. Здесь знаки -f-°° н —00 также могут быть всюду изменены на обратные.
5. Если ф (л) и (J/ (я) обе ограниченно колеблются, то ф (л) -f- ф (л) должно либо также ограниченно колебаться, либо стремиться к пределу.
Примеры: (1) <р (я) = (—!)", ф(я) = (—I)" + 1, (2) 9 («) = <!< (л) = (-1)".
6. Если ф (я) колеблется ограниченно, а (я) колеблется неограниченно, то ф (я) -j- ф (я) колеблется неограниченно.
Действительно, в (л) по модулю всегда меньше некоторой постоянной A*. С другой стороны, і (л), так как она колеблется неограниченно, должна принимать значения по модулю большие любого заданного числа (напри-Мер, 10А*, 100К,---)- Следовательно, в(я) + Ф(п) должна принимать значения по модулю большие любого заданного числа (например, 9 К, 999 К, ¦ ¦ ¦)¦ Следовательно, <р (л) -\-<Ь (л) должна либо стремиться K-J-00I либо к —оо, либо неограниченно колебаться. Но если бы она стремилась к -(-со, то
1> (л) = {<?(я) + Ь (л)} -9 (л)
также стремилась бы к -(-оо, в силу предшествующих результатов. Следовательно, <р(я)-(-ф(я) не может стремиться к -\-оо, а, в. силу аналогичных рассуждений, не может стремиться и к — оо; таким образом, она должна неограниченно колебаться.
7. Если ф (я) и (J/ (л) обе неограниченно колеблются, то Ф (я)-(-<}> (я) может либо стремиться к пределу, либо к -\-со, либо к —оо, либо ограниченно или неограниченно колебаться.
Допустим, например, что <р(л) = (—1)" л, а і> (л) — одна нз следующих функций: (—I)" + 1 л, {1-(-(—I)" + 1}^ —{1+ (—1)"}л, (—If + ^n + l), (— 1)" л. Мы получаем примеры всех пяти возможностей.
Предложения 1 — 7 покрывают все существенно различные случаи. Прежде чем перейти к рассмотрению произведения двух функций, отметим, что утверждение теоремы I может быть непосредственно распространено на сумму трех и большего числа функций, стремящихся к пределу при я —>¦ со.
65. В. Поведение произведения двух функций, поведение которых известно. Мы можем теперь доказать аналогичную систему теорем, относящихся к произведению двух функций. Основным предложением является следующее.
ТЕОРЕМА II. Если Нтф(л) = а и Hm^ (я) = й, то lim ф (л) ^ (я) = а#.
Пусть
9 (я) = а + фі (я), ф (я) =a b + -h ("),
Пределы функций от целочисленного переменного 133
¦3|*|' ,Yll""^3|ai для л л0; но тогда
|т(Я)ф(Я)-в*,<^в + ^в + 5|^т<&
Итак, мы можем выбрать л0 так, что |?(л)ф(л)— аЬ\<.Ь при п^щ, и теорема доказана. Читателю предлагается провести доказательство в том случае, когда по крайней мере одно из а и Ъ равно 0.
Эта теорема, как и теорема I, может быть, конечно, сразу обобщена на произведение любого числа функций от я. Имеет место также и ряд дополнительных предложений, аналогичных сформулированным в п. 64 для сумм. Теперь мы должны различать шесть случаев в поведении со (я) при я стремящемся к оо. Она может (1) стремиться к пределу, отличному от нуля, (2) стремиться к нулю, (За) стремиться к -(-со, (ЗЬ) стремиться к —оо, (4) ограниченно колебаться и (5) неограниченно колебаться. Как правило, нет необходимости в отдельном рассмотрении случаев (За) и (ЗЬ), так как результат в одном случае может быть выведен из результата в другом простым изменением знака.
Подробное изложение этих дополнительных предложений заняло бы слишком много места. Приведем здесь только два из иих в качестве примеров, оставляя их доказательство читателю. Весьма полезным упражнением для него будет также формулировка некоторых из остальных предложений.
(1) Если <р(л)—--(-со и ф(л) ограниченно колеблется, то <р(л)ф(я) должна стремиться к + со или к —со или неограниченно колебаться.
Примеры для этих трех случаев могут быть получены, если положить <р(л) = л, а ф(л) = 2 + (— 1)»; —2-(^1)"; (—If.
(2) Если ср (я) и ф (л) ограниченно колеблются, то <р (л) ф (л) должна или стремиться к пределу (который может быть равен нулю), или ограниченно колебаться.
В качестве примеров возьмем следующие: (а) ср (л) = ф(л) = (-1)»,
(D) ср (л) = 1+(-1)», ф (л)= 1-(-1)»,
1 1
(с) ср (л) = cos у я л, ф (л) = sin g- п л.
так что Hm Cp1 (я) = О и Hm (я) = 0. Тогда
Ф (я) Ф (я) = ab +• а (я) + й ?1 (я) + ?1 (я) (я).
Следовательно, модуль разности ер(я)ф(я)— ab не больше чем сумма модулей a (я), й Sp1 (я), Cp1 (л) (я). Отсюда следует, что
Hm {ср (я) ф (я) —• ab] = О,
и теорема доказана.
Подробнее последняя часть доказательства проводится следующим образом. Мы имеем