Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
') В этом последнем случае N зависит от времени, а заключенный номер х, где X имеет определенное значение, представляется разными лицами в разные моменты времени. Таким образом, если мы будем рассматривать разные моменты времени, то получим простой пример функции у = F(x, t) от двух переменных, определенной для некоторой области значений t, а именно, с момента открытия Дартмурской тюрьмы до момента ее закрытия, и для некоторого числа положительных целочисленных значений х, причем это число изменяется со временем.
Пределы функций от целочисленного переменного 113
для некоторых значений х, а именно, положительных и целочисленных, и считать, что для всех остальных значений х данное определение непригодно. Или же мы можем вообще исключить из рассмотрения все значения х, отличные от положительных целочисленных, и рассматривать нашу функцию как функцию от положительного целочисленного переменного п, значениями которого являются положительные целые числа
1, 2, 3, 4, ... .
В этом случае мы можем писать
У = 9(п)
и уже рассматривать у как функцию от п, определенную для всех значений п.
Очевидно, что всякая функция от х, определенная для всех значений х, порождает функцию от п, определенную для всех значений п. Так, из функции у= Xі мы получаем функцию у — п% простым исключением из рассмотрения всех значений х, отличных от положительных целых чисел, и соответствующих значений у. С другой стороны, из любой функции от п мы можем вывести любое число функций от X1 приписывая произвольным образом значения у, соответствующие значениям х, отличным от положительных целых чисел.
51. Интерполяция. Задача определения функции от х, которая должна принимать для всех положительных целочисленных значений х значения, равные соответствующим значениям некоторой данной функции от п, играет весьма важную роль в высшей математике. Она называется задачей функциональной интерполяции.
Если бы задача состояла только в том, чтобы найти какую-нибудь функцию от х, удовлетворяющую поставленным условиям, то ее решение не представляло бы никаких трудностей. Мы могли бы, как уже было указано, просто заполнить недостающие значения каким угодно образом; мы могли бы даже просто рассматривать данные значения функции от я как все значения функции от х, и сказать, что определение этой последней функции непригодно для всех остальных значений х. Но такие решения, конечно, не представляют интереса. В качестве решения обычно требуется некоторая формула (возможно более простого вида), содержащая х и принимающая данные значения при х=1, 2, ... .
В некоторых случаях, в особенности тогда, когда сама функция от я определена с помощью формулы, имеется очевидное решение. Если, например, y = <f (я), где <р (я) — такая функция от п, которая (как,-например, я* или cos птг) сохраняет смысл и для я, отличных от положительных целых чисел, то мы, естественно, берем в качестве решения функцию y = <f {х). Но даже в этом очень простом случае легко написать другие, почти одинаково очевидные решения задачи. Например,
у = tp (X) + sin хт.
принимает значения tp (я) при х = п, так как sin як = 0.
В других случаях «у (я) может быть определена формулой, как, например. (—1)™> теряющей смысл прн некоторых значениях х (в данном примере для рациональных значений х с четными знаменателями и для иррациональных значении). Но может оказаться возможным преобразовать фор-
8 Г. Харди
1І4 Глава четвертая
мулу таким образом, что оиа станет применима для всех значений х. В рассмотренном случае, например,
(—l)n = cos nr.,
если п — целое число, н задача интерполяции решается функцией cosxn.
В других случаях <р(х) может быть определена для некоторых значений х, отличных от положительных целых чисел, но не для всех таких значений. Так, от у = пп мы приходим к у = Xх. Это выражение имеет смысл только для некоторых из остающихся значений х. Если мы для простоты ограничимся только положительными значениями х, то Xх имеет смысл для всех рациональных значений х, в силу определений дробных степеней, принятых в элементарной алгебре. Но когда х иррационально, хх (по крайней мере с той точки зрения, которой мы придерживаемся в настоящий момент) ие имеет никакого смысла. Мы приходим, таким образом, к вопросу о таком расширении наших определений, чтобы выражение хх имело бы смысл н в том случае, когда х иррационально. Дальше мы увидим, как такое расширение может быть осуществлено.
Рассмотрим, наконец, случай, когда
у = 1.2... п = п!
Здесь не существует очевидной формулы от х, которая сводилась бы к п! прн х = п, так как х\ ничего не означает для значений х, отличных от положительных целых чисел. Это — одни из тех случаев, в которых попытки решить задачу интерполяции привели к важным открытиям в математике. Математикам удалось иайти такую функцию (так называемую гамма-функцию), которая обладает требуемым свойством и целым рядом других важных и интересных свойств.
52. Конечные и бесконечные классы. Прежде чем итти дальше, необходимо сделать несколько замечаний о некоторых абстрактных понятиях, постоянно встречающихся в чистой математике.
