Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
л cos2 ¦i- n n -(- sin2 -і- л -
Пределы функций от целочисленного переменного
137
ТЕОРЕМА. Если с? (л) монотонно возрастает вместе с п, то либо (1) ер (л) стремится к пределу при п стремящемся к со, либо (2) ер (я) —>- -j- оо.
Это означает, что из пяти возможных случаев поведения для функций этого типа могут иметь место только два.
Эта теорема является простым следствием теоремы Дедекинда (см. п. 17). Разобьем действительные числа \ на два класса LnR, относя \ к L или к R, в зависимости от того, имеет место неравенство ер (л) ^e для некоторого значения л (и тогда, конечно, для всех больших значений) или неравенство ер(я)<^| для всех значений л.
Класс L заведомо существует; класс R может и не существовать. Если он не существует, то как бы велико ни было заданное число Д, ср(я)^>Д для всех достаточно большие значений л и, следовательно,
ф О) + °°-
Если, с другой стороны, R существует, то классы LaR образуют сечение в области действительных чисел в смысле п. 17. Пусть а —число, соответствующее этому сечению, и 8— любое положительное число. Тогда ер(я)<^а-|-8 для всех значений л, откуда, в силу произвольности 8, следует, что ер (л) sg: а. С другой стороны, ер (л) ^> а—-8 для некоторого значения л, а значит, и для всех достаточно больших значений л. Таким образом,
а — 8 <^ со (л) s? а
для всех достаточно больших значений л, т. е.
ер (л) -> а.
Следует заметить, что, вообще говоря, <р(п)<а для всех значений п, ибо если бы <р (я) была равна а для некоторого значения л, то она должна была бы равняться а и для всех больших значений п. Следовательно, <р(я) не может принять значения а, если только не все значения <р (п), начиная с некоторого, равны а. В этом последнем случае а является наибольшим числом в L) в других случаях L не имеет наибольшего числа.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если ео (я) монотонно возрастает вместе с п, то она будет стремиться к пределу или к -f- со, в зависимости от того, возможно или нет найти такое число К, что <р(п)<^Кдля всех значений я.
Мы увидим, что это следствие очень полезно в приложениях.
СЛЕДСТВИЕ 2. Если ер (я) монотонно возрастает вместе с й и ер(я)<^К для всех значений п, то ео (я) стремится к пределу, и этот предел не превосходит К-
Следует отметить, что предел может быть равен К; если, например, со (я) = 3 — ~, то каждое значение со (я) меньше 3, но предел <?(я) равен 3,
133
Глава четвертая
СЛЕДСТВИЕ 3. Если Ф (я) монотонно возрастает вместе с п и стремится к пределу, то
ф (я) Hm Ф (я)
для Всех значений п.
Читателю предлагается сформулировать соответствующие теоремы и следствия для случая, когда ф (я) убывает при возрастании я.
70. Важность этих теорем обусловливается тем обстоятельством, что они дают нам возможность (которой мы не имели до сих пор) во многих случаях решить, стремится ли данная функция от я к некоторому пределу при п —<¦ оо или нет, не предугадывая значения этого предела. Если мы знаем, чему должен быть равен предел, в случае его существования, то мы можем применить признак
Это положение имеет место, например, в случае ф (я) = —, где,
очевидно, пределом может быть только 0. Но допустим, что мы должны определить, стремится ли
к пределу. В этом случае совсем не очевидно, чему будет равен предел, если он существует, и ясно, что предыдущий признак, содержащий /, не может быть применен (во всяком случае непосредственно) к решению вопроса о том, существует / или нет.
Этот признак может быть, конечно, иногда применен косвенно для доказательства того, что / не существует, путем приведения к противоречию. Если, например, <р («) = (—1)га, то ясно, что / должно было бы быть как 1, так и — 1, что явно невозможно.
71. Другое доказательство теоремы Вейерштрасса из п. 19. Результаты п. 69 позволяют нам дать другое доказательство важной теоремы, уже доказанной в п. 19.
Если мы разделим интервал PQ на две равные части, то по крайней мере одна из них должна содержать бесконечно много точек S. Выберем ту часть, которая содержит бесконечно много точек S, или, если этим свойством обладают обе части, то выберем левую. Эту выбранную половину обозначим через P1Q1 (фиг. 25). Если PiQi — левая половина, то P1 — это точка Р.
Аналогично, если мы разделим P1Q1 на две половины, то по крайней мере одиа из них должна содержать бесконечно много точек S. Выберем половину P2Q2, которая удовлетворяет этому условию, или, если этому условию удовлетворяют обе половины, то выберем левую. Продолжая такйМ образом, мы получим последовательность интервалов
|Ф(Я) — /|<8 (я=й=лв).
1
Пределы функций от целочисленного переменного 139
Pf
T
Oi
P
P2
O2
. о
Р* о,
Фиг. 25
Тогда T является точкой накопления S. Ибо, полагая, что S является ег координатой, рассмотрим любой интервал типа (S—S, Если я доста-
точно велико, то PnQn будет целиком лежать внутри этого интервала Следовательно, интервал (S — S, S+S) содержит бесконечно много точек S.
72. Предел хп при я стремящемся к со. Применим результаты п. 69 к особо важному случаю ср(я) = х". Если х= 1, то со (я) = 1, Hm со (я) = 1, и если x = Q, то со (я) = 0, Hm со (я) = 0, так что эти частные случаи можно исключить из рассмотрения.
