Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Когда 9 (я) стремится к -f-oo, мы пишем
ер (я) —>- -j- со.
Мы можем предоставить читателю формулировку соответствующего определения для функций, которые стремятся к отрицательной бесконечности.
61. Некоторые замечания по поводу определений. Читатель должен обратить внимание на следующее:
(1) Очевидно, что мы можем изменять значения 9(я)каким угодно образом для любого конечного числа значений п, не влияя никоим образом на поведение 9 (я) при п стремящемся к со. Например,
— стремится к 0 при п стремящемся к со. Мы можем составить
из -^- любое число новых функций, изменяя конечное число ее значений. Так, мы можем рассмотреть функцию 9 (я), равную 3 для я= 1, 2, 7, 11, 101, 107, 109, 237, и равную і для всех остальных значений я. Для этой функции, так же как н для исходной функции ~, lim 9 (я) = 0. Аналогично, для функции 9 (я), которая равна 3 для"я=1, 2, 7, 11, 101, 107, 109, 237, и равна я2 для всех остальных значений я, мы имеем; 9 (я) -)- со,
124
Глава четвертая
(2) С другой стороны, мы не можем, как правило, изменить бесконечное число значений ф(я), не изменив при этом радикально ее поведения при я стремящемся к со. Если, например, изменить
функцию 1 , положив ее значения равными 1 всякий раз, когда я
кратно 100, то соотношение lim со (я) = 0 уже не будет иметь места. Пока мы изменяли только конечное число значений, мы всегда могли выбрать число пй, встречающееся в определениях, так, чтобы оно было больше наиботьшего значения я, для которого со (я) было изменено. В приведенных выше примерах мы всегда могли выбрать я0^>237, и в действительности мы даже должны были бы так сделать, если наш воображаемый оппонент (п. 56) задал бы значение 8, меньшее 3 (в первом примере) и значение Д большее, чем 3 (во втором примере). Но теперь, как бы велико ни было п0, всегда найдутся еще большие значения я, при которых со (я) была изменена.
(3) Применяя признак определения I, существенно проверить, что неравенство |ср(и) —1\<^<> выполняется не только для п = п0, но и для я^>я0, т. е. для пй и всех больших значений п. Ясно, например, что если со (я)— функция, рассмотренная в (2), то по заданному 8 мы можем найти я0 так, что |ф(я)|<Г^8 при п — п0: для этого нужно только выбрать я0 достаточно большим и не кратным 100. Но если п0 так выбрано, то неравенство |ф(я)|<^8 имеет место не для всех п^па; а именно, значения л, кратные 100 и большие я0, являются исключениями, если 8=s:l.
(4) Если со (я) всегда больше чем /, то мы можем просто заменить
|со(«)—/| на со (я)— /. Так, признаком того, что 1 стремится к пределу 0 при я стремящемся к со, является просто справедливость неравенства ~ <Г^8 для «^= я0. Если, однако, со (я)== (—1)" ~,
то I попрежнему равно 0, но со (я)— / иногда положительно, а иногда отрицательно. В таком случае мы должны сформулировать условие в виде IФ («) — /1 <^ 8, а в данном случае, в частности, в виде | со (л) | <^ 8.
(5) Предел I сам может быть одним из значений, принимаемых со (я). Так, если со (я) = 0 для всех значений «, то очевидно, что и lim ф («) = 0. Другой пример: если бы мы, как в (2) и (3), изменили значение функции для всех значений л, кратных 100, но не на 1, а на 0, мы получили бы функцию ф(л), которая равна 0
для л, кратных 100, и равна — для остальных значений п. Предел этой
функции при л стремящемся к со равен 0 и принимается функцией для бесконечного числа значений п, а именно, для всех значений кратных 100.
С другой стороны, предел не обязан быть (а в общем случае и не будет) одним из значений, принимаемых функцией для
какого-либд значения п. Это достаточно ясно в случае со (л)= — .
Пределы функций От цеЛочиіленного переменного
125
Здесь предел равен 0, но функция не равна 0 ни для какого значения п.
Читатель не может переоценить важности этих фактов. Предел не является значением функции: он иногда отличен от этих значений, хотя определен ими, и, возможно, равен одному из них. Для функций
ср (я) = 0 или 1 предел равен всем значениям функции ср(я); для
он не равен ни одному из значений функции; для
.1 .1
sin YnK sin-g-як
9 (я) =-, 1 -і----
т v ' я ' 1 я
(пределы которых при я стремящемся к оо, как легко видеть, равны соответственно О и 1,так как sin—язг по модулю никогда не превосходит 1) предел равен значению, которое ф («) принимает для всех четных значений я, но значения, принимаемые функцией для нечетных значений я, все отличны от предела и друг от друга.
(6) Функция может быть по модулю очень велика, когда я очень велико, но не стремиться ни к -f-oo, ни к—оо. Достаточной иллюстрацией этого обстоятельства является функция ср (я) = (—¦ 1)"я. Функция может стремиться к -j-oo или к — со только в том случае, когда она, начиная с некоторого значения п, сохраняет знак.
Примеры XXIII. Рассмотреть поведение следующих функций от я при я стремящемся к оо:
1.9 (я) = я*, где k — положительное или отрицательное целое число, или рациональная дробь. Если k положительно, то я* стремится к +оо вместе с я. Если k отрицательно, то Hm Ф = 0. Если &=0, то я*=1 для всех значений я, и, следовательно, Hm Ф = 1.
