Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 44

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 191 >> Следующая


1 = I-I-AT, z = Z + K. (Экз. 1911 г.)

23. Показать, что соотношение

1 + Zi

г=.-^1-T Z+i

преобразует часть оси л: между точками 2=1 и Z = — 1 в полуокружность, проходящую через точки Z=I и Z= — 1. Найти все фигуры, которые могут быть получены из указанной части оси х последовательным применением данного преобразования. . {Экз. 1912 г.)

24. Доказать, что преобразование

2 = (cos 6 -j- і sin 6) ——,

1 — aZ

где a—любое комплексное число с модулем, не равным единице, и а означает сопряженное к а число, а 6 — действительное число, преобразует внутренность единичной окружности плоскости 2 во внутренность или внешность единичной окружности в плоскости Z. Найти также условия для каждого из этих случаев. (Экз. 1933 г.)

25. Если 2 = 2Z-(-Zs, то окружности |Z| = 1 соответствует кардиоида в плоскости г.

110

Ґлава третья

26. Рассмотреть преобразование

и, п частности, показать, что окружностям Х--\-У2 = а? соответствуют со-фокусиые эллипсы

_*__і___У._.

4

27. Если (2+I)8 = -^-, то единичной окружности в плоскости z соответствует парабола R cos2 -і- 0 = 1 в плоскости Z, и внутренности

окружности соответствует область, внешняя относительно параболы.

28. Показать, что преобразование

/Z+а \а

где а—действительное число, преобразует верхнюю полуплоскость z в полукруг в плоскости Z. (Экз. 1919 г.)

29. Если z = Z2—1, то когда z описывает окружность \z\=-a, две соответствующих точки Z описывают каждая овал Кассини pip» = *, где р,, р2 означают расстояния от Z до точек —1, 1. Начертить эти овалы для различных значений г..

30. Рассмотрим соотношение

«г2 -f IhzZ .4- oZa + Igz + 2/Z 4- с = 0.

Показать, что существуют два значения Z, для которых соответствующие значения z равны, и наоборот. Мы называем эти точки точками, ветвления в плоскости Z и, соответственно, в плоскости 2. Показать, что если 2 описывает эллипс с фокусами в точках ветвления, то и Z описывает эллипс с фокусами в точках ветвления.

[Мы можем без ограничения общности предположить, что данное соотношение имеет вид

2е 22Z cos <o-\-Z- = l;

читателю предлагается самому убедиться в этом. Точками ветвления в каждой плоскости будут тогда cosec <о и —cosec <». Эллипс указанного типа представляется тогда соотношением

I 2 4- cosec <о I 4-1 2 — cosec Ю \ = С, где С—константа. Это соотношение эквивалентно (пример 9) следующему: I 2 4- j/V— coseA [ 4- I z ~ Yz2 — cosec2 ш [ = С.

Подставить сюда выражение z через Z.]

31. Если z = aZm -\-bZn, где т и я —положительные целые числа и a, b—действительные числа, то когда Z описывает единичную окружность, z описывает гипо- или эпициклоиду.

32. Показать, что преобразование

cZ—(a — di)

Комплексные числа

111

где а, Ь, с, d—действительные числа и a2 + d2 + be > 0, a Z обозначает число, сопряженное с Z, эквивалентно инверсии относительно окружности

с (*2 + у*) — 2ах — 2dy — * = 0.

Какова геометрическая интерпретация преобразования, когда

as + rf2 + fo<0?

33. Преобразование

l — z_(l—Zy I+2-[I + Zj '

где с рационально и 0<с<1, преобразует окружность |г|==1 в границу круговой луночки с углом —.

34. Доказать, что преобразование

г (г — а) _ ~

" «—1 '

где а действительной 0<а<;1, преобразует внутренность единичного круга в плоскости г в дважды взятую внутренность единичного круга в плоскости Z. (Экз. 1933 г.)

ГЛАВА IV

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ОТ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПЕРЕМЕННОГО

50. Функции от положительного целочисленного переменного.

В гл. II мы рассмотрели понятие функции от действительного переменного X и привели большое число примеров таких функций. Читатель вспомнит, что мы встретились там с одним очень важным обстоятельством: некоторые из этих функций были определены ДЛЯ всех значений х, некоторые—-только для рациональных значений, некоторые — только для целочисленных значений и т. д.

Рассмотрим, например, следующие функции: (1) х, (2) Ух, (3) знаменатель х, (4) корень квадратный из произведения числителя и знаменателя л;, (5) наибольший простой делитель х, (6) произведение Ух и наибольшего простого делителя х, (7) лг-ое простое число, (8) измеренный в дюймах рост заключенного номер х в Дартмурской тюрьме.

Тогда совокупности значений х, для которых эти функции определены, или, как говорят, области определения этих функций, состоят из (1) всех значений х, (2) всех положительных значений х, (3) всех рациональных значений х, (4) всех положительных рациональных значений х, (5) всех целочисленных значений х, (6), (7) всех положительных целочисленных значений х, (8) некоторого числа положительных целочисленных значений х, а именно, 1, 2,..., N, где N—число всех заключенных в Дартмурской тюрьме в данный момент времени1).

Рассмотрим теперь такую функцию, как, например, функция примера (7), которая определена для всех положительных целочисленных значений д: и ни для каких других. Такая функция может рассматриваться с Двух, слегка отличающихся друг от друга, точек зрения. Мы можем рассматривать ее, как мы это делали до сих пор, как функцию действительного переменного х, определенную только
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed