Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Мы уже рассматривали утверждение „— меньше чем 0,001 для больших значений я". Это, как мы видели, означает, что неравенство — <С 0,001 имеет место для всех значений я, больших некото-п
рого определенного значения, в данном случае больших 1 000. Аналогично имеет место и следующее утверждение^ 1 меньше чем 0,0001
для больших значений я"; действительно, ~<С 0,0001, если я ^> 10 000.
Вместо 0,001 или 0,0001 мы можем взять 0,00001 или 0,000001, или какое угодно положительное число.
Очевидно, что было бы удобно иметь краткое выражение для
того факта, что имеет место любое утверждение типа „ ~ меньше
Пределы функций от целочисленного переменного 119
чем 0,001 для больших значений п", где вместо 0,001 мы можем подставить любое меньшее число, как, например, 0,0001 или 0,00001, или любое другое еще меньшее положительное число. Ясно, что это утверждение мы можем выразить так: „как бы мало ни было 8 (если
оно, конечно, положительно), -^-<С8 для достаточно больших значений п". Очевидно, это верно. Ибо ~<^%, если и^>у, так чго наши все „достаточно большие" значения п должны быть только больше чем у . Утверждение это, однако, весьма сложно, так как
в действительности оно содержит целый класс утверждений, которые мы получим, придавая 8 частные значения, как, например, 0,001. Чем
меньше 8, и, следовательно, чем больше-^-, тем больше должно быть,
конечно, наименьшее из тех „достаточно больших" значений, для которых соответствующее утверждение имеет место, причем значения, которые являются достаточно большими для одного значения 8, могут оказаться неподходящими для другого, меньшего значения.
Последнее утверждение, приведенное курсивом, обычно и понимают под утверждением (а), что ¦i- мало, когда п велико. Подобным
образом, (Ь) в действительности означает, что если ср(й) = 1—~t
то утверждение 1—ф(я)<^8 для достаточно больших значений п имеет место, какое бы положительное значение (как, например, 0,001 или 0,0001) мы ни приписали 8. Что утверждение (Ь)
Справедливо, ОЧевИДНО ВВИДУ ТОГО, ЧТО 1-(J) (я) = .
Существует еще другой способ выражения фактов, содержащихся в утверждениях (а) и (Ь) и подсказываемый п. 55. Вместо того чтобы
сказать „— мало для больших значений п", мы скажем „¦i- стремится к 0, когда п стремится к оо (или при п стремящемся к со)". Аналогично, мы будем говорить „1—-І стремится к 1 при п стремящемся к со". Эти утверждения следует рассматривать как строго эквивалентные утверждениям (а) и (Ь). Таким образом, утверждения
„ — мало, когда п велико",
„ j~- стремится к 0 при п стремящемся к оо"
эквивалентны друг другу и более формальному предложению:
„если 8 — любое как угодно малое положительное число, то
~<^8 для достаточно больших значений п",
или еще более формальному предложению:
и если § — любое как угодно малое положительное число, то мы
120
Глава четвертая
можем найти такое число л0, что-1<^ 8 для всех значений л, больших или равных пп".
Число л0, которое встречается в последнем предложении, является, конечно, функцией от 8. Иногда мы будем подчеркивать это обстоятельство записью лп(8) вместо л0.
Читатель должен представить себя лицом к лицу с оппонентом, который подвергает сомнению справедливость утверждения. Он будет называть все меньшие и меньшие числа. Он может начать с 0,001.
Читатель ответит, что 0,001, как только л^> 1000. Оппонент
должен будет признать это, но предпримет новую попытку с каким-либо меньшим числом, например 0,0000001. Читатель ответит, чго
¦І < 0,0000001, как только и> 10 000 000, и так далее. В этом
простом случае ясно, что читатель выйдет победителем в споре. Мы теперь введем еще один способ выражения рассматриваемого
свойства функции -1. Мы будем говорить, что „предел , когда п
стремится к со (или при п стремящемся к со), равен 0"; это утверждение мы символически записываем в виде*)
Hm - = 0,
или просто Hm-= 0. Мы будем иногда также писать
—-v 0 при п -*~ со, л г
что можно читать так: я~ стремится к 0 при п стремящемся к со", или просто „ —v0". Аналогично, мы будем писать Hm (l —-M=l, Hm (l — —1=1,
і 1
или 1--—vi.
л
57. Рассмотрим теперь другой пример: 9 (л) = л3. Тогда „л2 велико, когда п велико". Это предложение эквивалентно следующим более формальным предложениям:
„если Д — сколь угодно большое положительное число, тол2^>Д для достаточно больших значений п",
„мы можем найти такое число я0(Д), что л2^>Д для всех л, больших или равных Itn (Д)". В этом случае естественно говорить, что „л2 стремится к со при л стремящемся к со", или „и2 стремится к cq вместе с л", и писать:
л2 —v со.
*) Jimes — пд^латыни предел, (Прим. перев.)
Пределы функций от целочисленного переменного
121
Рассмотрим, наконец, функцию ер (п) = — «2. В этом случае ер («) велика, но отрицательна, когда п велико, и мы будем говорить, что „—л2 стремится к —со при « стремящемся к со", и писать
— «а — со.
Употребление символа — со в этом смысле влечет за собой удобную в некоторых случаях запись: «a-v-j-co вместо «a-vco. Вообще, в целях единообразия обозначений представляется иногда удобным применять символ —j— оо вместо со.
