Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
I <Р (л) ф (л) - а* | «S |а ф, (л) | + | * «R1 (л) | +1 Т1 (л) I I ф, (я) 1;
допуская, что ни а, ии 5 не равны 0, мы можем предположить, что 8<3[я| I Ь \, и выбрать пй так, что
І?і(я)І<Дл> l-M«)!<; S
134
Глава четвертая
Важным частным случаем теоремы II является тот, в котором <]i (я) постоянна. Теорема тогда утверждает, что Hm /гср (я) = ka, если Hm ф (я) = а. К этому мы можем добавить, что если ср(п)-*¦-{- сю, то k «р (я) —v -}- со, или Аф(я)—v—оо, в зависимости от того, положительно k или отрицательно. При k = О ? 9 (я) = О для всех я, и Hm ?9 (я) = 0. Если же 9 (я) ограниченно или неограниченно колеблется, то так же ведет себя и &ф(я), если к=/Ь0.
66. С. Поведение разности и отношения двух функций, поведение которых известно. Имеется, конечно, аналогичная система теорем для разности двух данных функций, являющихся очевидными следствиями из предыдущих результатов. Прежде чем рассмотреть отношение
У (я)
докажем следующую теорему.
ТЕОРЕМА III. Если Hm 9 (я) = а и а отлично от нуля, то
hm —^ = — . <р (п) а
Пусть
_9(я) = а4-ф, (я),
так что 1іт9і(я) = 0. Тогда I ? (') а
I ?! (я)I
\а 11 a 4- yi (n) I
и так как Нга9!(я) = 0, то очевидно, что мы можем найти такое яЛ, что это выражение будет меньше любого заданного положительного числа 8 для я^я0.
Из теорем II и III мы можем тотчас же вывести основную теорему для отношения двух функций.
ТЕОРЕМА IV. Если Hm 9 (я) = а и lim <ji (я) == Ъ и Ъ отлично от Нуля, то
і• ?(я) a
hm TT-T==-,- . <ь(я) 5
Читателю рекомендуется сформулировать, доказать и проиллюстрировать примерами некоторые из „дополнительных теорем" к теоремам III и IV.
67. ТЕОРЕМА V. Если <}і (я),..., х (я)} — л/о<5ал /лг^мо-
нальная функция от 9 (я), «Ji (я),..., х (л)> е. любая функция вида
Р{<! (я),ф(я),...,/.(я)} 0{?(я),ф(я),...,х(л)} '
Пределы функций от целочисленного переменного 135
ч.Р-Я
'я пР
і
Функция в фигурных скобках имеет вид #{ф(я)}, где ф(я)=-^,
и, следовательно, стремится при я со к пределу R (0) = ~ .
Но пр-?-+0, если p<iq, пр~9~1 и, значит, пр~9-*\, если p — q, и яр-?-*• == со, если p^>q- Поэтому, по теореме II, '
UmS(A) = O (/><?), Нга5(я)=^ (р = q),
5 (я) —>- -4- оо {^р^> q> у положительно^,
?(л)-*--со [^P^>Q, у отрицательно^.
1J Мы, конечно, предполагаем, что ни а0, ни не равно 0.
где PuQ обозначают полиномы от tp (я), (п),..., х (я),.... и если
Нтф(я) = а, Hm (я) = b,..., Hm/(я) = с
и
Q (а, с,) ф О,
яго
Hm R {<? (я), ^ (я),..., X (я)} = /? (а, ..., с).
В самом деле, P является суммой конечного числа слагаемых вида
л{?(я)Н<кя)р...{х(я)Г,
где Л — постоянная, а /?, q,..., г—положительные целые числа. По теореме II (точнее, по ее обобщению на любое число сомножителей), это слагаемое стремится к пределу AaPbq ...сг и, следовательно, P стремится к пределу P (a, b,..., с), согласно аналогичному обобщению теоремы I. Таким же образом Q стремится к Q (a, b,..., с), и утверждение следует из теоремы IV.
68. Предыдущая общая теорема может быть применена к решению следующего очень важного частного вопроса: каково поведение наиболее общей рациональной функции от я, а именно,
с („\ __ а»пР + attP-1 + ... + а,,
при п OO 1J ?
Для применения теоремы преобразуем S (п) к виду
136 Глава четвертая
Л (COS2-^ Л~4" Я8ІП2-^Лл:
3. Обозначая через S (л) произвольную рациональную функцию от я, рассмотренную выше, показать, что
lim 1 Hm ^+» 1
69. Функции от я, монотонно возрастающие вместе с п.
Частным, но особенно важным классом функций от я, является класс таких функций, которые изменяются при возрастании я только в одном направлении, т.-е. которые все время возрастают (или убывают), когда я возрастает. Так как —ф(л) всегда возрастает, если Ф (я) всегда убывает, нет необходимости рассматривать каждый тип функций в отдельности; теоремы, доказанные для одного типа, тотчас же переносятся на другой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция ф(я) называется монотонно возрастающей вместе с п, или возрастающей функцией от я, если Ф (я-)-1)^=ф(я) для всех значений п.
Следует заметить, что мы не исключаем случая, когда ф (я) имеет одно и то же значение для нескольких значений" я; мы исключаем лишь возможность убывания. Так, функция
9 (я) = 2/1+(-1)*,
значения которой для я = О, 1, 2, 3, 4,... равны соответственно
1, 1, 5, 5, 9, 9,...,
возрастает вместе с п. Наше определение включает даже функции, которые остаются постоянными, начиная с некоторого значении п; так, ф(я)=1 монотонно возрастает.
Если ф(я + 1)^>ф(я) для всех я, то мы говорим, что ф(я) строго возрастает.
Для функций этого класса имеет место следующая очень важная теорема.
Примеры XXVI. 1. Каково поведение функций
я+lj ' 1 ' ' л ' ^ ' л
при rt—>CO?
2. Установить, стремятся ли следующие функции к пределу при л-^со:
_1____1__
1 1 ' / 1 1 \ '
cos2 Y п~ -f-nsin'y ЛЯ Л '^COS8-^- л^-(-л sin8y л^
