Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
(I«11+1^ = 2(1 а|» + |о»-Р|+|*,»} = ! в + *I* +
+ \а — Ь\2 + 2\а2 — Ь2\.
Иначе этот результат можно сформулировать так: если Z1 и Z2 являются корнями уравнения
az2+2$z + f = 0,
то
[ « I (i Z11 + 1 Z21) = і р + I +! P - Уч\.]
10. Показать, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы оба корня уравнения га + «г + й = 0 имели модуль, равный единице, является выполнение следующих соотношений:
I й I 2, JJ| = 1, am b = 2am а.
[Под амплитудами здесь понимаются не обязательно их главные значения.]
11. Если уравнение х* + 4atxs + 6a2xs + 4а3х + а4 = 0 с действительными коэффициентами имеет два действительных и два комплексных корня, лежащих на одной окружности на диаграмме Аргана, то
«s + «1«4 + и' - «2«4 -2U1U2O3 = 0.
12. Четыре корня уравнения а0х*+ 4aiXs+ 6a2xs+4asx + at = 0 находятся в гармоническом отношении, если
«0«3 + «1«, + а2 — «oa2«i — 2O1O2U3 = 0. [Выразить Z2S)14 Z3l)24 Z12)M, где
^25,14 = (Z1 — Z2) (Z3 — Z1) + (Z1 — Z3) (Z2 — Z1)
и Z1, z2, Z3, Zf- корни уравнения, через коэффициенты.]
13. Мнимые точки и прямые линии. Пусть уравнение ах + by +с = 0 имеет комплексные коэффициенты. Если мы придадим X любое действительное или комплексное значение, мы можем найти соответствующее значение у. Совокупность пар действительных или комплексных значений х и у, удовлетворяющих такому уравнению, называется мнимой прямой; сами пары значений называются мнимыми точками, и мы говорим, что они лежат на прямой. Значения х и у называются координатами точки (х, у). Когда
108
Глава третья
хну действительны, точка называется действительной точкой; когда а, Ъ и с действительны (или могут быть сделаны действительными делением уравнения на некоторое число), прямая называется действительной прямой. Точки х = а + $і, у Z=Y + 5' и х—а — Р'\ У = Т —6' называются сопряженными; сопряженными называются также прямые
(Л + A4) X + (В + ВЧ)у + C + Ci = 0,
(А — A4) X + (B- В'і)у + С — Ci = 0.
Проверить следующие утверждения: каждая действительная прямая содержит бесконечно много пар сопряженных миимых точек; мнимая прямая содержит, вообще говоря, одну и только одну действительную точку; мнимая прямая не может содержать пару сопряженных миимых точек. Найти также условия для того, чтобы (а) прямая, соединяющая две данные мнимые точки, была бы действительной, и (Ь) точка пересечения двух мнимых прямых была бы действительной. *
14. Доказать тождества:
(x+y + z)(x-j-yчи, + zail) (х +у«4 + 2<us) = Xs +уъ + z3 — Зхуг,
(X +у + Z) (X + уш6 + 2ш*) (X +уш2 -f 2ш*) (X 4-у со* + ZuQ (х + уи>\ + 2со6) =
= X* 4-у5 4- г5 — 5x3yz 4- 5xyszs.
15. Решить уравнения
Xs — Зах 4- (as 4-1) = 0, лг3 — 5ах3 + 5а2х + (а5 4-1) = 0.
16. Если / (аг) = а0 4- U1X 4- - • • 4- т0
{/ (X) 4- / («*) + • ¦ ¦ + f (и"'1*)} = «о + W1 + а2пх™ + ... + а1п хХп,
где ш означает любой корень (кроме единицы) уравнения х" = 1, и Хя является наибольшим кратным л, содержащимся в k. Найти аналогичную формулу для а,, 4- U11+11X" 4- U1x + 2п лг2и 4-..., где 0 < |л < л.
17. Если (1 4-лг)и=/70 + pix + p2x2 + ..., где я—положительное целое число, то
р.-р. + р.-... = 2я/8сов5?_, ^-/7,4-/7,-... = 2"^^.
18. Просуммировать
л-п/г
2!(л —2)! 1 5!(я —5)! 1 8!(л—8)! ' 1 (я—1)! '
где п кратно 3. (Экз. 1899 г.)
19. Если t—такое комплексное число, что ]*| = 1, то точка
at + b
X =
t — c
описывает окружность, когда t изменяется, за исключением того случая, когда |с| = 1. В этом случае точка описывает прямую.
20. Когда t изменяется как в предыдущем примере, точка
х = І{аі + Т
описывает в общем случае эллипс, фокусы которого определены уравнением X2 = ab и оси которого равны | я | 4-1 ^ I и |а| — \b\. Но если | а | = = то X описывает отрезок прямой, соединяющий точки —У~аЬи У ab-
Комплексные числа
109
21. Доказать, что если t — действительное число и
z = Г- — 1 + V?^t\
то, при ts<.l, z представляет точку, лежащую на окружности х2~\~у° + -]_х = 0. Предполагая, что при <2>1 под — ts понимается положительный квадратный корень из t* — ts, рассмотреть движение точки, представляемой z, когда t уменьшается от больших положительных значений к большим отрицательным значениям.
{Экз. 1912 г.)
22. Пусть коэффициенты преобразования
cZ + d
подчинены условию ad — bc = l. Показать, что если с ^?0, то существуют дв2 неподвижные точки а и ?, т. е. такие точки, которые переходят при преобразований сами в себя; если же, кроме того, (a-j-d)s = 4, то существует только одна такая точка а. В этих двух случаях преобразование может быть представлено, соответственно, в виде
* —" is Z—<* 1 1 T IS
= К 7-TT , или--- = —- + К-
2—р Z—jl 2—a Z-
Показать, далее, что если с = 0, то имеется одна неподвижная точка а при условии, что a^bd, и что в этом случае преобразование может быть представлено в виде
Z-Ct = K(Z-а).
Если же с = 0 и a = d, то преобразование может быть представлено в виде
z = Z + K.
Наконец, если а, Ь, с, d принимают положительные целочисленные значения (включая нуль), показать, что единственными преобразованиями менее чем с двумя неподвижными точками являются преобразования
